《九年级数学》考点08 圆压轴题（解析版）

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考点 08 圆压轴题

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

一、单选题（共 12 小题）

1.（2020•平房区二模）如图，AB 为⊙O的切线，AC 为弦，连接 CB 交⊙O于点 D，若 CB 经过圆心

O，∠ACB＝28°，则∠B的度数为（　　）

A．33° B．34° C．56° D．28°

【答案】B

【分析】如图，连结 OA，构造圆心角∠AOD 和直角△AOB，利用圆周角定理和切线的性质求得答案．

【解答】解：如图，连结 OA，

∵∠ACB＝28°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝56°．

又∵AB 为⊙O的切线，OA 是半径，

∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°．

∴∠B＝90°﹣∠AOB＝34°．

故选：B．

【知识点】圆周角定理、切线的性质

2.（2020 秋•滨海县期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B、C的坐标分别为（1，4），（5，4），

（1，0），则以 A、B、C为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（　　）

A．（3，2）B．（2，3）C．（1，3）D．（3，1）

【答案】A

【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．

【解答】解：根据垂径定理的推论，如图，

作弦 AB、AC 的垂直平分线，

交点 O′即为三角形外接圆的圆心，

且O′坐标是（3，2）．

故选：A．

【知识点】三角形的外接圆与外心、坐标与图形性质

3.（2020 春•鄂城区期中）如图，等边△ABC 边长为 a，点 O是△ABC 的内心，∠FOG＝120°，绕点 O旋

转∠FOG，分别交线段 AB、BC 于D、E两点，连接 DE，给出下列四个结论：

①△ODE 形状不变；

②△ODE 的面积最小不会小于四边形 ODBE 的面积的四分之一；

③四边形 ODBE 的面积始终不变；

④△BDE 周长的最小值为 1.5a．

上述结论中正确的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】①连接 OB、OC，利用等边三角形的性质得∠ ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝

∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以 BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；

③利用 S△BOD＝S△COE 得到四边形 ODBE 的面积＝ S△ABC＝a2，则可对③进行判断；

②作 OH⊥DE，如图，则 DH ＝EH，当 OE⊥BC 时，OE 最小，此时 OE＝a，计算出

S△ODE═a2，四边形 ODBE 的面积为： a2，可对②进行判断；

④由于△BDE 的周长＝BC+DE＝a+DE＝a+OE，根据垂线段最短，当 OE⊥BC 时，OE 最小，

△BDE 的周长最小，计算出此时 OE 的长则可对④进行判断．

【解答】解：连接 OB、OC，如图，

∵△ABC 为等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵点 O是等边△ABC 的内心，

∴OB＝OC，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，

∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，

而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，

∴∠BOD＝∠COE，

在△BOD 和△COE 中，

∠BOD＝∠COE，BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，

∴△BOD≌△COE（ASA），

∴BD＝CE，OD＝OE，

所以①正确；

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