《九年级数学》考点03 中考常考题型-二次函数（基础）（解析版）

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考点 03 中考常考题型——二次函数（基础）
一、单选题（共 10 小题）
1.（2020•拱墅区二模）下列函数 y随x的增大而增大的是（　　）
A．y＝2（x1﹣ ）2+4（x＞1）B．y＝﹣2x+4
C．y＝﹣3xD．y＝﹣
【答案】A
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
【解答】解：A、y＝2（x1﹣ ）2+4（x＞1）中开口向上，对称轴为 x＝1，故当 x＞1时，y随着 x的增大而
增大，符合题意；
B、y＝﹣2x+4 中k＝﹣2＜0，y随着 x的增大而减小，不符合题意；
C、y＝﹣3x中k＝﹣3＜0，y随着 x的增大而减小，不符合题意；
D、y＝﹣ 中 k＝﹣2＜0，是双曲线，只在象限内 y随x的增大而增大，不等于整个函数 y随x
的增大而增大，不符合题意，
故选：A．
【知识点】反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质
2.（2020•西安模拟）若抛物线 y＝ax2+bx+c与x轴相交于 A（x1，0），B（x2，0）两点（点 A在点 B的左
边），在 x轴下方的抛物线上有一点 M，其横坐标为 x0，则下列判断正确的是（　　）
A．a＞0 B．b24﹣ac＜0
C．x1＜x0＜x2D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0
【答案】D
【分析】分 a＞0及a＜0两种情况考虑：当 a＞0时可得出 x1＜x0＜x2，进而可得出 a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜
0；当 a＜0时可得出 x0＜x1或x0＞x2，进而可得出 a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．综上即可得出结论．
【解答】解：当 a＞0时，如图 1所示，
∵x1＜x0＜x2，
∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
当a＜0时，如图 2所示，
∵x0＜x1或x0＞x2，
∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0或x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．
综上所述：a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0．
故选：D．
1
【知识点】抛物线与 x轴的交点
3.（2020•成都模拟）抛物线 y＝ax2+bx+c（对称轴为 x＝1）的图象如图所示，下列四个判断中正确的是（
）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．b24﹣ac＜0
C．2a+b＝0 D．a+b+c＞0
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：（A）由图象可知：a＞0，c＜0，
对称轴可知：x＝ ＞0，
∴b＜0，故 A错误；
（B）由抛物线与 x轴有两个交点可知：b24﹣ac＞0，故 B错误；
（C）由题意可知： ＝1，
∴b+2a＝0，故 C正确；
（D）当 x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故 D错误；
故选：C．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
4.（2020•南开区二模）如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x轴交于点 A（﹣1，0），顶点
坐标为（1，n），与 y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点）．有下列结论：①当 x＞3
时，y＜0；② n＝c﹣a；③ 3a+b＞0；④﹣1＜a＜﹣ ．其中正确的结论有（　　）
2
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【分析】由抛物线与 x轴的交于点 A（﹣1，0）且对称轴为 x＝1，知函数图象与 x轴的另一个交点为
（3，0），结合图象可判断①；由对称轴为 x＝﹣ ＝1得b＝﹣2a，将其代入 n＝a+b+c可判断
②；由开口方向知 a＜0，将 b＝﹣2a代入 3a+b即可判断③；由图象过（﹣1，0）知 a﹣b+c＝0，
将b＝﹣2a代入可得 c＝﹣3a，结合抛物线与 y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端
点）得 2＜c＜3，即 2＜﹣3a＜3，从而判断④．
【解答】解：∵函数图象与 x轴交于点 A（﹣1，0），且对称轴为 x＝1，
则函数图象与 x轴的另一个交点为（3，0），
∴当 x＞3时，y＜0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为 x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∵顶点坐标为（1，n），
∴n＝a+b+c＝a2﹣a+c，即 n＝c﹣a，故②正确；
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a2﹣a＝a＜0，故③错误；
∵函数图象过点（﹣1，0），即 x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即 c＝﹣3a，
∵抛物线与 y轴的交点在（0，2）和（0，3）之间（不包括端点），
∴2＜c＜3，即 2＜﹣3a＜3，
解得：﹣1，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
5.（2020•历下区三模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数 M，对于任意的函数值 y，都满足
3
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