《初中数学讲义》衔接教材07 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质（原卷版）

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2021-2022 新高一初高中衔接辅导课程（原卷版）

衔接教材 07 二次函数 y＝＋bx＋c的图象和性质

知识点讲解

1. 二次函数的三种表示方式

一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中 x1，x2是二次函数图象与 x轴交点的横坐标．

除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次

函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x轴交点个数．

当抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有

ax2＋bx＋c＝0． ①

并且方程①的解就是抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛

物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的

判别式 Δ＝b2－4ac 有关，由此可知，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式 Δ＝b2－4ac

存在下列关系：

（1）当 Δ＞0时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与

x轴有两个交点，则 Δ＞0也成立．

（2）当 Δ＝0时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线 y＝

ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则 Δ＝0也成立．

（3）当 Δ＜0时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x

轴没有交点，则 Δ＜0也成立．

于是，若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2是方程 ax2＋bx＋c＝0

的两根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝，

即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以 y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为 y＝a(x－x1)

(x－x2) (a≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中 x1，x2是二次函数图象与 x轴交点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种

表达形式中的某一形式来解题．

2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

问题 1 函数 y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数 y＝x2

的图象之间的关系，推导出函数 y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数 y＝x2，y＝2x2的图象．

先列表：

x…-3 -2 -1 0 1 2 3 …

x2…9410149…

2x2…18 8 2 0 2 8 18 …

从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就

可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数 y＝x2，y＝2x2的图象（如图 2－1

所示），从图 2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数

y＝2x2的图象可以由函数 y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍

得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y＝x2，y＝－2x2的图

象，并研究这两个函数图象与函数 y＝x2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象可以由 y＝x2的图象各点的纵坐标变为

原来的 a倍得到．在二次函数 y＝ax2(a≠0)中，二次项系数 a决定了

图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题 2 函数 y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究

它们之间的关系．同学们可以作出函数 y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的

图象（如图 2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函

数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以

得到函数 y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状

相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数 y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图

象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开

口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左

移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正

上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

由于 y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋ )＋c－，

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二

次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

（1）当 a＞0时，函数 y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线 x＝－

；当 x＜时，y随着 x的增大而减小；当 x＞时，y随着 x的增大而增大；当 x＝时，函

数取最小值 y＝．

（2）当a＜0时，函数 y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线 x＝－

图2.2-2

－1

y＝2x2

y＝2(x＋1)2

y＝2(x＋1)2＋

y＝x2

y＝2x2

图2.2-1

；当 x＜时，y随着 x的增大而增大；当 x＞时，y随着 x的增大而减小；当 x＝时，函

数取最大值 y＝．

上述二次函数的性质可以分别通过图 2．2－3和图 2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次

函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

3. 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换

1．平移变换

问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平

移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其

形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．

例1 求把二次函数 y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（ 1）向

右平移 2个单位，向下平移 1个单位；

（2）向上平移 3个单位，向左平移 2个单位．

分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函

数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，

再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．

解：二次函数 y＝2x2－4x－3的解析式可变为 y＝2(x－1)2－1，其顶点坐标为(1，－1)．

（1）把函数 y＝2(x－1)2－1的图象向右平移 2个单位，向下平移 1个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，

－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x－3)2－2．

（2）把函数 y＝2(x－1)2－1的图象向上平移 3个单位，向左平移 2个单位后，其函数图象的顶点坐标是

(－1，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就 y＝2(x＋1)2＋2．

2．对称变换

问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，

有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行

对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方

向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，

关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．

x＝－

图2.2-3

x＝－

图2.2-4

x＝－ 1

A(－

1,4)

D(0,1)

图2.2 －5

x＝－ 1

A(1, －1)

A1(－3, －1)

图2.2 －7

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