《八年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）》易错16 建立一次函数模型解决实际问题易错（解析版）

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2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）

易错 16 建立一次函数模型解决实际问题易错

【典型例题】

1．（2020·浙江）甲仓库有水泥 110 吨，乙仓库有水泥 70 吨，现要将这些水泥全部运往 A，B两工地，调

运任务承包给某运输公司，已知 A工地需水泥 100 吨，B工地需水泥 80 吨，从甲仓库运往 A，B两工地的

路程和每吨每千米的运费如表：

路程（千米）运费（元/吨千米）

甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库

A地25 20 1 0.8

B地20 15 1.2 1.2

（1）设甲仓库运往 A地水泥 x吨，则甲仓库运往 B地水泥_________吨，乙仓库运往 A地水泥_________吨，

乙仓库运住 B地水泥_________吨（用含 x的代数式表示）；

（2）求总运费 W关于 x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；

（3）当甲、乙两仓库各运往 A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？

【答案】（1）110-x；100-x；x-30；（2）W=3x+3700（30≤x≤100）；（3）甲仓库运往 A地水泥 30 吨、运

往B地水泥 80 吨、乙仓库运往 A地水泥 70 吨、运往 B地水泥 0吨时，总运费最省，最省的总运费是 3790

元．

【分析】

（1）根据甲仓库运往 A地水泥吨数结合甲仓水泥的总吨数即可得出甲仓库运往 B地水泥吨数，由 A地需

要水泥的吨数减去甲仓库运往 A地水泥吨数即可得出乙仓库运往 A地水泥吨数，再根据 B地水泥需要的吨

数减去甲仓库运往 B地水泥吨数即可得出乙仓库运往 B地水泥吨数；

（2）根据总运费=甲仓运往 A地水泥的运费+甲仓运往 B地水泥的运费+乙仓运往 A地水泥的运费+乙仓运

往B地水泥的运费即可得出 W关于 x的函数关系式，再由 A、B两地需要的水泥吨数即可得出关于 x的一

元一次不等式组，解之即可得出自变量 x的取值范围；

（3）根据（2）的函数关系式利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【详解】

解：（1）设甲仓库运往 A地水泥 x吨，则甲仓库运往 B地水泥（110-x）吨，乙仓库运往 A地水泥（100-

x）吨，乙仓库运往 B地水泥 80-（110-x）=x-30 吨．

故答案为：110-x；100-x；x-30．

（2）根据题意得：W=1×25x+1.2×20（110-x）+0.8×20（100-x）+1.2×15（x-30）=3x+3700．

∵ ，

∴30≤x≤100．

∴总运费 W关于 x的函数关系式为 W=3x+3700（30≤x≤100）．

（3）∵在 W=3x+3700 中k=3＞0，

∴W随着 x的增加而增加，

∴当 x=30 时，W取最小值，最小值为 3790，

∴110-x=80，100-x=70；x-30=0．

答：当甲仓库运往 A地水泥 30 吨、运往 B地水泥 80 吨、乙仓库运往 A地水泥 70 吨、运往 B地水泥 0吨时，

总运费最省，最省的总运费是 3790 元．

【点睛】

本题考查了一次函数的实际应用问题，解题的关键是：（1）根据数量关系列出代数式；（2）根据总运费

=甲仓运往 A地水泥的运费+甲仓运往 B地水泥的运费+乙仓运往 A地水泥的运费+乙仓运往 B地水泥的运费

找出 W关于 x的函数关系式；（3）根据一次函数的单调性解决最值问题．

【专题训练】

一、解答题

1．（2021·陕西西安市·九年级二模）西银高铁于 2020 年12 月26 日正式开通运营，从“千年古都”到“塞

上江南”，由原来的 14 个小时变为 3小时，沿途风景如画，尽显西北风情．试运行期间，一列动车从西安

开往银川，到达目的地后停留一段时间，以原速返回西安，设动车从西安出发 x（h），动车离西安的距离

为y（km），y与x的函数关系如图所示．

（1）求返回西安时 y与x之间的函数关系式；

（2）求动车从西安出发 5小时后离西安的距离．

【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y=-206x+1442；（2）动车从西安出发 5小时后离西安的距离为

412km．

【分析】

（1）根据题意求出点 D的坐标，再利用待定系数法求解即可；

（2）把 x=5代入（1）的函数关系式即可解答．

【详解】

解：（1）由题意，动车从西安开往银川，以原速返回西安，用时也为 3小时，则点 D的坐标为

（7，0），

设返回西安时 y与x之间的函数关系式为 y=kx+b，

则，

解得，

∴y与x之间的函数关系式为：y=-206x+1442；

（2）当 x=5时，y=-206×5+1442=412，

即动车从西安出发 5小时后离西安的距离为 412km．

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等

关系是解题的关键．

2．（2021·福建龙岩市·九年级一模）去年在我县创建“国家文明县城”行动中，某社区计划将面积为

的一块空地进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙

队每天能完成绿化面积的1.8倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用 4

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