《八年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）》易错13 特殊四边形中的动点及最值问题易错（解析版）

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2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（人教版）
易错 13 特殊四边形中的动点及最值问题易错
【典型例题】
1．（2021·甘肃白银市·九年级期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C的直线 MN∥AB，D在AB
边上一点．过点 D作DE⊥BC，交直线 MN 于E，垂足为 F，连接 CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当点 D在AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由．
【答案】（1）见解析；（2）四边形 BECD 是菱形，见解析
【分析】
（1）先求出四边形 ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形 BECD 是平行四边形，求出 CD＝BD，根据菱形的判定推出即可．
【详解】
（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即 CE∥AD，
∴四边形 ADEC 是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：四边形 BECD 是菱形，
理由是：∵D为AB 中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∵BD∥CE，
1
∴四边形 BECD 是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB 中点，
∴CD＝BD，
∴四边形 BECD 是菱形．
【点睛】
本题主要考查平行四边形及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形及菱形的性质与判定是解题的关键．
【专题训练】
一、选择题
1．（2019·浙江杭州市·中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，P为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于
E，PF⊥AC 于F，动点 P从点 B出发，沿着 BC 匀速向终点 C运动，则线段 EF 的值大小变化情况是（　
　）
A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少
【答案】C
【解析】
【分析】
连接 AP，先判断出四边形 AFPE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得 EF=AP，再根据垂线段最短可得
AP⊥AB 时，线段 EF 的值最小，即可判断出动点 P从点 B出发，沿着 BC 匀速向终点 C运动，线段 EF 的
值大小变化情况．
【详解】
如图，连接 AP．
2
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形 AFPE 是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得 AP⊥BC 时，AP 最短，则线段 EF 的值最小，
∴动点 P从点 B出发，沿着 BC 匀速向终点 C运动，则线段 EF 的值大小变化情况是先减小后增大．
故选 C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 CP⊥AB 时，线段 EF 的值最小是解
题的关键．
2．（2021·全国八年级专题练习）如图，点 是矩形 的对角线上一点，过点 作 ，分别
交 于 ，连接 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先根据矩形的性质证得 ，然后求解即可．
【详解】
解：作 PM⊥AD 于M，交 BC 于N，
∴四边形 AEPM、四边形 DFPM、四边形 CFPN 和四边形 BEPN 都是矩形，
3
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