《八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）》专题1.4 勾股定理章末重难点题型（举一反三）（原卷版）

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专题 1.4 勾股定理章末重难点题型
【华东师大版】
【考点 1 赵爽弦图求值】
【方法点拨】解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可
解决问题.
【例 1】（2020 春•大悟县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄
傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角
三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若 ab＝8，小正方形的面积为 9，则大正方形的边长为（
）
A．9 B．6 C．5 D．4
【变式 1-1】（2020 春•湛江期末）如图，由 4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，
1
若大正方形面积是 9，小正方形面积是 1，直角三角形较长直角边为 a，较短直角边为 b，则 ab 的值是
（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式 1-2】（2019 春•番禺区期中）如图是“赵爽弦图”，△ ABH、△BCG、△CDF 和△DAE 是四个全
等的直角三角形，四边形 ABCD 和EFGH 都是正方形，如果 AB＝10，EF＝2，那么 AH 等于（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式 1-3】（2020 春•和县期末）如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个
大正方形，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的较短的直角边长为 a，较长
的直角边长为 b，那么 a+b的值为　 　．
【考点 2 勾股定理的验证】
【方法点拨】勾股定理的验证，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此类题的关键.
【例 2】（2020 春•南岗区校级月考）下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　）
A．B．
2
C．D．
【变式 2-1】（2019 春•临海市期末）“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明
受此启发，探究后发现，若将 4个直角边长分别为 a、b，斜边长为 c的直角三角形拼成如图所示的五边
形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有 a、b、c的式
子表示）　
　 ，　
　 ．
【变式 2-2】（2019 秋•鼓楼区期中）如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长
分别为 a和b，斜边长为 c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明
勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）
【变式 2-3】（2020 春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直
观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图 ①，其中四个直角三角形较
大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c2，也可以
表示为 4
×1
2
ab+（a﹣b）2，所以 4
×1
2
ab+（a﹣b）2＝c2，即 a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：
如果直角三角形两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德
的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
3
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