《八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）》专题1.3 平行四边形章末重难点题型（举一反三）（解析版）

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专题 1.3 平行四边形章末重难点题型
【华东师大版】
【考点 1 平行四边形性质中的边角关系】
【方法点拨】掌握平行四边形的边角性质是关键：⑴平行四边形的对角相等，邻角互补；⑵平行四边形的
对边相等，且平行。
【例 1】（2019 春•覃塘区期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，CE 平分∠BCD 与AB 交于点 E，DF 平分
∠ADC 与AB 交于点 F，若 AD＝8，EF＝3，则 CD 长为（　　）
A．8 B．10 C．13 D．16
【分析】首先判断 AD＝BC＝AF＝BE，从而求出 BF，得出 AB 的长，即可得出答案．
【答案】解：∵CE 平分∠BCD 与AB 交于点 E，DF 平分∠ADC 与AB 交于点 F，
∴∠ADF＝∠CDF，∠DCE＝∠BCE，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC，AD＝BC，
∴∠AFD＝∠CDF，∠BEC＝∠ECD，
∴∠AFD＝∠ADF，∠BEC＝∠BCE，
∴AD＝BC＝AF＝BE，
又∵AD＝8，EF＝3，
1
∴BF＝BE﹣EF＝5，
∴AB＝AF+BF＝5+8＝13，
∴CD＝13．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出 AD＝BC＝AF＝BE，难度一般．
【变式 1-1】（2020•泉港区一模）如图，E、F在▱ABCD 的对角线 AC 上，AE＝EF＝CD，∠ADF＝
90°，∠BCD＝54°，则∠ADE 的大小为（　　）
A．46° B．27° C．28° D．18°
【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝
EF，得出 DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝
54°﹣x，得出方程，解方程即可．
【答案】解：设∠ADE＝x，
∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，
∵AE＝EF＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝54°﹣x，
∴2x＝54°﹣x，
解得：x＝18°，
即∠ADE＝18°；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系
2
得出方程是解题的关键．
【变式 1-2】（2020 春•西城区校级期中）从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹
角为 135°，则此四边形的四个内角依次为（　　）
A．45°，135°，45°，135° B．50°，135°，50°，135°
C．45°，45°，135°，135° D．以上答案都不对
【分析】本题对题意进行分析，从平行四边形的一锐角顶点引另外两条边的垂线，若两垂线的夹角为
135°，可将两条垂线与相垂直的两边构成一个四边形，即可求出平行四边形锐角的度数，进而求出钝角
的度数．
【答案】
解：过点 A作AE⊥CD 于E，AF⊥BC 于F，
∴∠EAF＝135°，
∴∠DAE＝∠EAF﹣DAF＝45°，∠BAF＝∠EAF﹣∠BAE＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C＝∠BAD＝45°，
∠ABC＝∠ADC＝180°﹣∠BAD＝135°，
∴四边形的四个内角依次为 45°，135°，45°，135°，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的基本性质，解题的关键是熟练运用平行四边形对角相等，邻角互补等有
关角的性质．
【变式 1-3】（2019 春•西湖区校级月考）在平行四边形 ABCD 中，AB≠BC，F是BC 上一点，AE 平分
∠FAD，且 E是CD 的中点，则下列结论：①AE⊥EF，②AF＝CF+CD，③AF＝CF+AD，④AB＝
BF，其中正确的是（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．①②④
3
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