《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题5.19 正方形-存在性问题（专项练习）

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专题 5.19 正方形-存在性问题（专项练习）

一、解答题

1．（2019·西安高新一中沣东中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-

2,0），B（0，m）两点，且线段 AB= 2 ，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD。

（1）求点 B 的坐标

（2）在 x 轴上是否存在点 Q，使△QAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写

出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如果在坐标平面内有一点 P（a，3），使得△ABP 的面积与正方形 ABCD 的面积

相等，求 a 的值。

2．（2020·湖北八年级期中）如图，在正方形网格中，所有小正方形的边长为 1，小

正方形的顶点称为格点，已知、是两格点．

（1）如果点也是图中的格点，且是等腰三角形则点有______个．

（2）在这个的网格中，是否存在这样的格点，使得为等腰直角三角形？若

存在，画出所有这样的等腰直角三角形，并选择其中一个进行证明．

3．（2019·北京八年级期末）对于平面直角坐标系 xOy中的点 P和正方形给出如下定义:若

正方形的对角线交于点 O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形，当

原点正方形上存在点 Q，满足 PQ≤1 时，称点 P为原点正方形的友好点.

(1)当原点正方形边长为 4时，

①在点 P1(0，0)，P2(-1，1)，P3(3，2)中，原点正方形的友好点是__________；

②点 P在直线 y=x的图象上，若点 P为原点正方形的友好点，求点 P横坐标的取值范围；

(2)乙次函数 y=-x+2 的图象分别与 x轴，y轴交于点 A，B，若线段 AB 上存在原点正方形的

友好点，直接写出原点正方形边长 a的取值范围.

4．（2020·南通市通州区育才中学八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形

ABCD 是边长为 5的正方形，顶点 A在y轴正半轴上，顶点 B在x轴正半轴上，OA，OB 的

长满足|OA 4|+﹣（OB 3﹣）2＝0．

（1）求 OA，OB 的长；

（2）求点 D的坐标；

（3）在 y轴上是否存在点 P，使△PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出

点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2018·江苏八年级期末）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A、点 B的坐标分别为

（4，0）、（0，3）.

(1)求AB 的长度.

(2)如图 2，若以 AB 为边在第一象限内作正方形 ABCD,求点 C的坐标.

(3)在x轴上是否存一点 P，使得⊿ABP 是等腰三角形？若存在，直接写出点 P的坐标；若

不存在，请说明理由.

6．（2018·湖北八年级期末）如图，在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长为 a．直线

y＝bx＋c交x轴于 E,交y轴于 F,且a,b,c 分别满足：-（a－4）2≥0，c= + +8．

（1）直线 y＝bx＋c的解析式为________；正方形 OABC 的对角线的交点 D的坐标为____

____；

（2）若正方形 OABC 沿x轴负方向以每秒移动 1个单位长度的速度平移，设平移的时间为

t秒，问是否存在 t的值，使直线 EF 平分正方形 OABC 的面积？若存在，请求出 t的值；

若不存在，请说明理由；

（3）点 P为正方形 OABC 的对角线 AC 上的动点（端点 A、C除外），PM PO⊥，交直线

AB 于M，在备用图中画图分析，直接写出的值．

7．（2018·全国八年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数 y= x+1

的图象与 x轴，y轴分别交于 A，B两点，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD．

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