《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题5.7 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）

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专题 5.7 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.

2. 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行

有关的证明和计算.

【知识点梳理】

要点一、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

（4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

宽＝长

矩形 S

４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

（3）有三个角是直角的四边形是矩形.

特别说明：由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30 度角所对应的直角边等于斜边的一半．

要点二、菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；

（2）四条边相等；

（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

对角线对角线

高＝＝底

菱形



S

4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

要点三、正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质：（1）对边平行；

（2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

=S正方形

边长×边长＝

×对角线×对角线

4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、矩形

1、如图，将长方形 ABCD 沿着对角线 BD 折叠，使点 C落在处，交 AD 于点

E．

（1）试判断的形状，并说明理由．

（2）若，，求 AE 的长．

【思路点拨】

（1）根据折叠的性质可知，又因为，可知，

即推出，所以，为等腰三角形．

（2）设，则，在中根据勾股定理列出等式，解出 x

即可．

【答案与解析】

（1）是等腰三角形，理由如下：

由折叠得：，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴ ，

∴ 是等腰三角形．

（2）解：设，则，

∵四边形 ABCD 是矩形，

∴ ，

∴在中，，即，

解得：，

∴ ．

【总结升华】

本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间

接证明出是解答本题的关键．

【变式】把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为

EF．若 AB ＝ 3

，BC ＝ 5

，则重叠部分△DEF 的面积是__________

．

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