《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题5.3 菱形（知识讲解）

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专题 5.3 菱形（知识讲解）

【学习目标】

1. 理解菱形的概念.

2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

特别指出：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.② 有一组邻边相等.即菱形是一个平

行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中

心.

特别指出：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形

分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另

一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线

互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

特别指出：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法

是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、菱形的性质

1、如图，在菱形中，分别是和上的点，且

（1）求证：

（2）若，求的度数．

【思路点拨】

（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“SAS”即可证明△ADE CDF≌△ ；

（2）根据△ADE CDF≌△ ，得到∠ADE= CDF∠，然后根据四边形 ABCD 是菱形，

∠ADC=150°进一步得到∠ADB= ADC=75°∠，从而∠EDB= ADB- ADE= ADB-∠ ∠ ∠

CDF=25°∠．

【答案与解析】

（1）∵四边形 ABCD 是菱形，

A= C∴∠ ∠ ，AB=CB，AD=DC，

在△ADE 和△CDF 中，

，

ADE CDF∴△ ≌△ （SAS）；

（2）∵△ADE CDF≌△ ，

ADE= CDF∴∠ ∠ ，

∵四边形 ABCD 是菱形，∠ADC=150°，

ADB∵∠ ADC=75°∠，

∵∠CDF=50°，

EDB= ADB- ADE= ADB- CDF=25°∴∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ．

【总结升华】

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟记菱形的性

质．

举一反三：

【变式】如图，E、F分别是矩形 ABCD 的边 BC、AD 上的点，且 BE  DF．

（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；

（2）若四边形 AECF 是菱形，且 CE  10，AB  8，求线段 BE 的长．

【分析】

（1）证明，利用一组对边平行且相等证明平行四边形；

（2）根据菱形的性质得到，再用勾股定理求出 BE 的长．

解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，

∴ ，，

∵ ，

∴ ，即，

∵ ，

∴四边形 AECF 是平行四边形；

（2）∵四边形 AECF 是菱形，

∴ ，

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