《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题4.11 反证法（知识讲解）

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专题 4.11 反证法（知识讲解）
【学习目标】
1、了解反证法的含义.
2、了解反证法的基本步骤.
3、会利用反证法证明简单命题．
【要点梳理】
要点一、反证法的内涵
反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首
先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定
理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
要点二、反证法的步骤
反证法的步骤:1、假设命题反面成立;2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,
或者与定义、公理、定理矛盾;3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.
矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛盾的命题;3、导出一个恒假命题.
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字
眼时.
简而言之：反证法步骤：①提出假设；②推理论证；③得出矛盾 ；④结论成立。
【典型例题】
类型一、 反证法证明中的假设
1 甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被
打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实
话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么
这个小朋友是谁？谁闯了祸？
【答案】丙说了实话；是丁闯了祸.
【分析】用反证法的方法先分别假设一人说真话，看和题上条件是否矛盾，依次判断得出
结论。
解：本题可分三种情况进行讨论：
①若甲真，则乙假，丙真，丁真；这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；
②若甲假，乙真，则丙假，丁真；这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；
③若甲假，乙假，则丙真，丁假；这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．
由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．
1
【点拨】本题考查了运用反证法的方法进行推理与论证,此类题可以用假设的方法，根据只
有一人说的是实话进行逐步推理．
举一反三
【变式】 甲、乙、丙、 丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球
冠军，有四个人猜测 比赛结果：
A 说：乙获铅球冠 军，丁获跳高冠军
B 说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；
C 说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军；
D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军.
其中每个人都只说对一句，说错一句.你知道五人各获哪项冠军吗？
解：假设 A 说：乙获铅球冠军，正确，则丁获跳高冠军错误．
D说：乙获跳高冠军错误，戊获铅球冠军错误，
∴乙不可能获铅球冠军，则丁获跳高冠军正确，
∴乙获跳高冠军错误，戊获铅球冠军正确，
∴甲获百米冠军正确，戊获跳远冠军错误，
丙获跳远冠军正确，丁获二百米冠军错误，则乙获得二百米冠军，
故甲获百米冠军，乙获二百米冠军，丙获跳远冠军，丁获跳高冠军，戊获铅球冠军．
类型二、 用反证法证明命题
2．（2020·全国九年级课时练习）仿照课本中“证明 是无理数”的方法求证：
是无理数．
【答案】见解析．
【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过
推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断
即可．
证明：假设 是有理数，那么它可以表示成 （p与q是互质的两个正整数）．
于是（ ）2＝（ ）2＝3，
2
所以，q2＝3p2．于是 q2是3的倍数，所以 q也是3的倍数，
从而可设 q＝3m，所以（3m）2＝3p2，p2＝3m2，于是可得 p也是3的倍数．
这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．
从而可知“ 是有理数”的假设不成立，
所以， 是无理数．
【点拨】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的一般步骤是解题关键．
举一反三
【变式 1】（2019·全国七年级单元测试）已知 ，求证： .
【分析】假设 a+b＞2，则 a＞2﹣b，2=a3+b3＞（2﹣b）3+b3，整理得出（b1﹣）2＜0，导
出矛盾式，从而可肯定原结论成立．
解 ：假设 a+b＞2，则 a＞2﹣b，
故2=a3+b3＞（2 b﹣）3+b3，
即2＞8 12b+6b2﹣，
即（b 1﹣）2＜0，这不可能，
从而 a+b≤2．
【点拨】本题考查了不等式的证明，着重考查反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与
已知事实矛盾，考查推理论证能力，属于中档题．
举一反三
【变式 2】用反证法证明:如果两个整数的积是偶数那么这两个整数中至少有一个是偶数．
【分析】首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为 2n+1，另一个奇数为 2p+1，利
用多项式乘以多项式得出（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，进而得出矛盾，则原命题
正确．
证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为 2n+1，另一个奇数为 2p+1，（n、p为
整数），
则（2n+1）（2p+1）=2（2np+n+p）+l，
∵无论n、p取何值，2（2np+n+p）+1 都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛
盾，
所以假设不成立，
∴这两个整数中至少一个是偶数．
3
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