《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题2.7 一元二次方程的应用（知识讲解）

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专题 2.7 一元二次方程的应用（知识讲解）
【学习目标】
1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实
际问题的一
般步骤；
2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.
【要点梳理】
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
2.解决应用题的一般步骤：
　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
　　　答(写出答案，切忌答非所问).
要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节：
　　　一是整体地、系统地审题；
　　　二是把握问题中的等量关系；
　　　三是正确求解方程并检验解的合理性.
要点二、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、
十位、百位、
　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数
位上的数字
只能是 0、1、2、……、9 之中的数，而最高位上的数不能为 0.因此，任何一个多
1
位数，都可用
其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表
示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数
可表示为：
　　　　　 100c+10b+a.
　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差 1.
　　　如：三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-1，x+1.
　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差 2.
　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x-2，x+2.
2.平均变化率问题
　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，
以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数
的基础上增长或降低两次.
(1)增长率问题：
　　平均增长率公式为 (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为
增长后的量.)
(2)降低率问题：
　　平均降低率公式为 (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为
降低后的量.)
3.利息问题
(1)概念：
　　本金：顾客存入银行的钱叫本金.
　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
　　本息和：本金和利息的和叫本息和.
2
　　期数：存入银行的时间叫期数.
　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
(2)公式:
　　利息=本金×利率×期数
　　利息税=利息×税率
　　本金×(1+利率×期数)=本息和
　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)
4.利润(销售)问题
　　利润(销售)问题中常用的等量关系：
　　利润=售价-进价(成本)
　　总利润=每件的利润×总件数
　　
5.形积问题
　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规
则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的
解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.
【典型例题】
类型一、数字问题
3
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