《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题2.3 一元二次方程的解法（1）（知识讲解）

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专题 2.3 一元二次方程的解法（1）（知识讲解）
【学习目标】
1．了解直接开平方法、配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；
2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；
3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应
用意识和能力.
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的解法---直接开平方法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解
的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解.
　　　 　若 ，则 ；表示为 ，有两个不等实数根；
　　　 　若 ，则 x=O；表示为 ，有两个相等的实数根；
　　　 　若 ，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解，
两根是
　　　　 .
要点诠释：
1
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是
含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.
知识点二、一元二次方程的解法---配方法
1．配方法解一元二次方程：
　　(1)配方法解一元二次方程：
　　　 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这
种解一元二次方程的方法叫配方法.
　　(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： .
　　(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：
　　　①把原方程化为 的形式；
　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为
1；
　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，
则判定此方程无实数解.
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式
2 2 2
2 ( )a ab b a b  
．
知识点三、配方法的应用
1．用于比较大小：
在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零
（或小于零）而比较出大小.
2．用于求待定字母的值：
配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全平方式后，再运用非负
2
数的性质求出待定字母的取值．
3．用于求最值：
“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
4．用于证明：
“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”
在二次函数中也有着广泛的应用．
要点诠释：
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等
关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把
它学好．
【典型例题】
类型一、用直接开平方法解一元二次方程
1．解方程
【答案】 ，
解：
，
【点拨】本题考查一元二次方程解法中的直接开平方法，根据平方根定义进行开平方时，
切记负数没有平方根．
举一反三：
【变式 1】解方程： ．
3
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