《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题4.7 因式分解十字相乘法（知识讲解）

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专题 4.7 因式分解-十字相乘法（知识讲解）
【学习目标】
1. 熟练掌握首项系数为 1 的形如
pqxqpx )(
2
型的二次三项式的因式分解.
2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非 1 的简单的整系数二次三项式的因式分解.
3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因
式分解.
【要点梳理】
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式
2
x bx c 
，若存在
pq c
p q b
 
，则
 
2
x bx c x p x q  
要点诠释：（1）在对
2
x bx c 
分解因式时，要先从常数项
c
的正、负入手，若
0c
，则
p q、
同号(若
0c
，则
异号)，然后依据一次项系数
b
的正负再确定
的符号
（2）若
2
x bx c 
中的
b c、
为整数时，要先将
c
分解成两个整数的积(要
考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于
b
，直到凑
对为止.
要点二、首项系数不为 1 的十字相乘法
在二次三项式
2
ax bx c 
(
a
≠0)中，如果二次项系数
a
可以分解成两个因数之积，
即
1 2
a a a
，常数项
c
可以分解成两个因数之积，即
1 2
c c c
，把
1 2 1 2
a a c c， ， ，
排列如下：
　　按斜线交叉相乘，再相加，得到
1 2 2 1
a c a c
，若它正好等于二次三项式
2
ax bx c 
的
1
一次项系数
b
，即
1 2 2 1
a c a c b 
，那么二次三 项式就可以分 解为两个因式
1 1
a x c
与
2 2
a x c
之积，即
 
2
1 1 2 2
ax bx c a x c a x c  
.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
　　（2）二次项系数
a
一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号
里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
【典型例题】
类型一、十字相乘法
1、（2020·内蒙古赤峰市·八年级期末）利用多项式的乘法法则可以推导得出：
=
=
型式子是数学学习中常见的一类多项式，因式分解是与整式乘法方向
相反的变形，利用这种关系可得
①
因此，利用①式可以将 型式子分解因式．
例如：将式子 分解因式，这个式子的二次项系数是 1，常数项 ，一次
项系数 ，因此利用①式可得 ．
上述分解因式 的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系
数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上
角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图 1）
2
这样，我们也可以得到 ．
这种方法就是因式分解的方法之一 十字相乘法．
（1）利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（2）
【答案】（1） ； ；（2）
【分析】
（1）前一个仿照阅读材料中的方法将原式分解即可，后一个把 看作是一个整体，再分
解即可；
（2）把( )看作成一个整体，仿照阅读材料中的方法将原式分解，再利用完全平方
公式二次分解即可．
解：（1） ；
；
（2）
3
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