《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题2.11 《一元一次不等式和一元一次不等式组》全章复习与巩固（知识讲解）

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专题 2.11 《一元一次不等式和一元一次不等式组》（知识讲

解）

【学习目标】

1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；

2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；

3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；

4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；

5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是

学习数学的一种重要途径.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.

要点诠释：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种

是用数轴表示，如下图所示：

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．

2. 不等式的性质：

不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c

不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或 )．

不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或 )．

要点二、一元一次不等式

1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高

次数是 1，这样的不等式叫做一元一次不等式，

要点诠释：ax+b＞0 或 ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．

2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.

要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是

定边界点，二是定方向，三是定空实.

3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大

于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；

（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；

（5）解：解出所列的不等式的解集；

（6）答：检验是否符合题意，写出答案.

要点诠释：

列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超

过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式

解决问题的关键.

要点三、一元一次不等式组

　　关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

要点诠释：

（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.ë

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的

公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.ë

（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等

式组的解集及实际意义确定问题的答案．

【典型例题】

类型一、不等式

1．用不等式表示

（1）a的与一 1的差是非正数．

（2）a的平方减去 b的立方大于 a与b的和．

（3）a的减去 4的差不小于-6．

（4）x的2倍与 y的和不大于 5．

（5）长方形的长与宽分别为 4、，它的周长大于 20．

【答案与解析】

【分析】根据题意以及不等式的定义列不等式．

解：（1）；

（2）；

（3）；

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