《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题2.7 一元一次不等式与一次函数（知识讲解）

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专题 2.7 一元一次不等式与一次函数（知识讲解）
【学习目标】
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观
地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数
形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次不等式
　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为
ax b
＞0 或
ax b
＜0 或
ax b
≥0 或
ax b
≤0（
a
、
b
为常数，
a
≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函
数
y ax b 
的值大于 0（或小于 0 或大于等于 0 或小于等于 0）时求相应的自变量的取值
范围.
要点诠释：求关于
x
的一元一次不等式
ax b
＞0（
a
≠0）的解集，从“数”的角度
看 ， 就 是
x
为 何 值 时 ， 函 数
y ax b 
的 值 大 于 0 ？ 从 “ 形 ” 的 角 度 看 ， 确 定 直 线
y ax b 
在
x
轴（即直线
y
＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.
要点二、一元一次方程与一元一次不等式
我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式
的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.
要点三、如何确定两个不等式的大小关系
ax b cx d 
（
a
≠
，且
0ac
）的解集
y ax b 
的函数值大于
y cx d 
的函数值时的自变量
x
取值范围
直线
y ax b 
在直线
y cx d 
的上方对应的点的横
坐标范围．
【典型例题】
类型一、一次函数与一元一次不等式
1
1．如图，直线 y=kx+b 经过点 A（5，0），（1，4）．
（1）求直线 AB 的解析式；
（2）如图，若直线 y=mx+n（m＞0）与直线 AB 相交于点 B，请直接写出关于 x的不等式
mx+n＜4的解．
【答案】（1） ；（2） ＜1．
【分析】
(1)先设出直线 AB 的解析式，利用待定系数法求 AB 的解析式即可，
(2)利用函数的增减性和 x=1 时的函数图像上点的位置来求即可．
解：（1）∵直线 y=kx+b 经过点 A（5，0）、B（1，4），
∴ ，
解方程组得 ，
∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x+5；
（2）∵直线 y=mx+n（m＞0）与直线 AB 相交于点 B（1，4），
∴当 x=1 时，mx+n=4，
∵m＞0，
∴函数 y=mx+n 随x的增大而增大，
∴关于 x的不等式 mx+n＜4的解集是 x＜1．
【思路点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数解析式的求法，以及一
次函数与一元一次不等式的关系，会求函数值，会比较函数值的大小关系是解题关键．
举一反三：
2
【变式 1】如图，直线 与直线 交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）根据图象，写出当 时， 的取值范围．
【答案】（1） ； （2）
【分析】
（1）联立两函数即可求解；
（2）根据函数图象即可求解．
解：（1）由于两直线相交，联立方程得：
解得：
∴点 的坐标为 ．
（2）由图象知，当 ，即 在 时上方时， ．
∴当 时， 的取值范围是 ．
3
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