《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题1.9 与角平分线相关的几何模型（知识讲练）

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专题 1.9 与角平分线相关的几何模型（知识讲练）
【知识回顾】
1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射
线叫做这个角的角平分线。
2、角平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
3、角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
【学习目标】
1．了解几何模型的含义；
2．掌握角平分线的几何模型，并运用几何模型解决问题.
【要点梳理】
1、模型一、 角平分线+平行线模型
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点
P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。
结论：△POQ 是等腰三角形。
特别说明：
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明
结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
【典型例题】
1、 解答下列问题：
（1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，
写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系；
（2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段
EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交 AB 延长线于点
E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？
Q
P
O
N
M
F
A
E
C
D
2
图
A
E
B
D
F
1
图
F
G
E
图
3
D
N
M
A
1
举一反三：
【变式】如图，点 I为△ABC 角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB 平移使
其顶点 C与点 I重合，则图中阴影部分的周长为__．
【答案】8
【分析】此题有角平分线，平移可知 ID//AC,BC//IE,构造平行线+角平分线解决问题：解：
解：如图，连接 AI，BI，
∵点I为△ABC 角平分线交点，
∴IA 和IB 分别平分∠CAB 和∠CBA，
∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，
∵将∠ACB 平移，使其顶点与点 I重合，
∴DI∥AC，EI∥BC，
∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，
∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，
∴DA＝DI，EB＝EI，
∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8．
即图中阴影部分的周长为 8．
故答案为：8．
【点拨】解题关键在于作辅助线构造平行线+角平分线几何模型。
2、模型二、 角平分线+垂线构造等腰三角形模型
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是边 OM 上一点，过点 A 作 AP⊥OP 于 P 点，延长
AP 于点 B。
2
结论：△AOB 是等腰三角形。
模型分析： 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可 以 得 到 两 个
全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合
一联系了起来。
【典型例题】
2. 如图，已知等腰直角三角形 ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BD 平分∠ABC，
CE⊥BD，垂足为 E。求证：BD=2CE。
证明：延长 BA,CE 交于 F
∵BE 是∠FBC 的角平分线,CE⊥BE
∴△BCF 是等腰△,∠F = ∠ACF
∵∠BAC = =90° = ∠BEC
∠BDA = ∠EDC,
∴E 是 FC 的中点
∴2CE = FC
∴∠ABD = ∠FCA
P
O
N
M
B
A
E
D
C
B
A
3
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