《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题1.7 角的平分线（知识讲解）

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专题 1.7 角的平分线（知识讲解）
【知识回顾】
1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射
线叫做这个角的角平分线。
2、线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
3、线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分
线上
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法，并能根据尺规作图解决实际问题.
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言：∵DC 平分∠ADB ,
又∵PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为 E、F，
∴PE=PF
特别指出：解题时一定要写上 E⊥AD,PF⊥BD 这个条件
要点二、角的平分线的判定
　 角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为 E、F，
又∵PE=PF
∴DC 平分∠ADB ,
即点 P 在∠ADB 的平分线上。
1
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边 D、E.
　　（2）分别以 D、E 为圆心，大于
1
2
DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C.
　　（3）作射线 OC.
∴射线 OC 即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做这个三角形的内心，
三角形内心到这个三角形三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.
三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4 个.如图所示：△ABC
的内心为
1
P
，旁心为
2 3 4
, ,P P P
，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.
2
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质
1．如图，在 中， 是 的角平分线， ， ，D是
的中点，证明： ．
【思路点拨】首先根据角平分线的性质可得 DE=DF，又有 BD=CD，可证
Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），即可得证∠B=∠C．
证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°
∵D是 的中点，
∴
在Rt△BDE 和Rt△CDF 中，
3
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