《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题1.5 线段的垂直平分线（知识讲解）

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专题 1.5 线段的垂直平分线（知识讲解）
【学习目标】
1、会准确说出线段垂直平分线性质定理及其逆定理，并用几何语言表达其性质；
2、能运用线段垂直平分线的性质解决有关问题；
3、能灵活应用性质定理及判定定理进行相关的解题训练.
【要点梳理】
知识要点一
线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条线段两
个端点的距离相等。
①如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1、P2、P3是 l 上的点.试说明 P1A= P1B.
证明：∵l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.
又 CA=CB，P1C= P1C，
∴△P1CA≌△P1CB (SAS).
∴P1A= P1B.
几何语言叙述： ∵直线 l 垂直平分 AB，P 是直线 l 上任意一点;
∴PA=PB.
知识要点二
线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线
上.
如图，在△PAB 中，如果 PA=PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上？
请证明这个结论？
点 P 在线段 AB 的垂直平分线上
证明：作 PC⊥AB，垂足为 C，则∠ACP=∠BCP=90°，在 Rt△PAC 和 Rt△PBC
中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).∴AC=BC.∴PC 是 AB 的垂直平分
线，即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质的逆定理：
1
几何语言叙述： ∵PA=PB;
∴P点在 AB 的垂直平分线上.
二、【典型例题】
知识点（1）：垂直平分线的性质
1．如图，在
△
ABC 中，DE 垂直平分 AC，若 BC=20cm，AB=12cm，则
△
ABD 的周
长为（ ）
A．20 cm B．22 cm C．26 cm D．32cm
解：∵DE 垂直平分 AC
，
∴，
，
故选：D．
【总结升华】本题考查了垂直平分线的性质，理解基本性质灵活对边长进行转化是解题关
键．
【变式 1】如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线 DE 交AC 于D，如果△DBC 的周长等于
9cm，BC＝4cm，那么 AC 的长是（　　）
A．5cm B．6cm C．7cm D．9cm
解：∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△DBC 的周长为 9，
∴CB+CD+DB
2
＝CB+CD+DA
即BC+AC＝9（cm），
∵AC＝4 cm，
∴BC＝5（cm），
故选：A．
【总结升华】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式 2】．如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 B和C为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧相交于点 M和N；②作直线 MN 交AC 于点 D，连接 BD．若
， ，则 的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
解：由作图知，MN 是线段 BC 的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴AD+BD=AD+CD=AC=7
∵AB=5，
∴ 的周长=AB+BD+AD=AB+AC=5+7=12，
故选：C．
【总结升华】本题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线
段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
知识点（2）：垂直平分线的运用---最值问题
3
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