《八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）》专题1.3 直角三角形（知识讲解）

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专题 1.3 直角三角形（知识讲解）
学习目标：
1.理角并掌握直角三角形的性质与判定；
2．灵活运用直角三角形的性质与判定进行证明与计算。
【要点梳理】
要点一、直角三角形的定义
三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
特别说明：
如果直角三角形中，有一个锐角是 45°这样的三角形是等腰直角三角形等，且两锐角
都等于 45°
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简
写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具
备.
特别说明：
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三
角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有 5 种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角
三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，
书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
要点三、直角三角形的性质
（1）直角三角形中两锐角互余.
（2）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
（3）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等
于 30°.
（4）勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（5）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直
角三角形.
（6）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
1
要点四、直角三角形的判定
(1) 有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2) 一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角
形.　　
(3) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为
斜边.
典型例题
1．在 ABC 中，CD⊥AB 于D，CE 是∠ACB 的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求
∠BCD 和∠ECD 的度数．
【思路点拨】由CD⊥AB 与∠B＝60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD 的度数，又由
∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB 的度数，由 CE 是∠ACB 的平分线，可求得∠ACE 的
度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB 的度数．
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE 是∠ACB 的平分线，
∴∠ACE＝ ∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BCD＝30°，∠ECD＝20°．
【总结升华】本题考查了三角形的外角性质，角平分线，直角三角形两锐角互余等知识点，
灵活运用外角定理是快速解题的关键．
【变式】 如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB，AD 是△AEC 的角平分线．
2
（1）求∠ADC 的度数；
（2）E是边 AC 上一点，DE∥AB，作 AC 边上的高 BF，根据题意补全图形 判断∠CBF 和
∠ADE 的数量关系，并说明理由．
解（1）AD 是△AEC 的角平分线， ，
与 中，
，
；
（2）如图，作 的延长线于 ，
在 中， ，
，
，即 ，
又 在 中， ,
，
（同角的余角相等）
3
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