《八年级数学上册课堂讲义（北师大版）》专题专题03 勾股定理的应用（原卷版）

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学科教师辅导教案

学员编号：年级：课时数：

学员姓名：辅导科目：学科教师：

授课类型 T C T

授课日期及时段

教学内容

勾股定理的应用

【知识导图】

如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只

在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走

最近？

勾股定理的应用

圆柱或长方体表面上两点间的最短距离

勾股定理的其他应用

教学过程

一、导入

第一环节：情境引入

情景 1：

提出问题：从 A到D怎样走最近？

情景 2：

如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B处，恰好一只

在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从 A处爬向 B处，已知圆柱体高为 12cm，

底面半径为 3cm，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？

意图：

通过情景 1复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学生探

究热情．

效果：

从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．

第二环节：合作探究

内容：

学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范

围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后

展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问

题的方法．

意图：

通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距

离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能

力，操作能力，分析能力，发展空间观念．

效果：

学生可能汇总以下四种方案：

（1）　（2）　　　（3）　　　（4）

二、知识讲解

A B

C D

学生很容易算出：情形（1）中 A→B 的路线长为：

AA '+d

，

情形（2）中 A→B 的路线长为：

AA '+πd

所以情形（1）的路线比情形（2）要短．

学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线 AA’剪开圆柱得到矩形，

情形（3）A→B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算

比较（1）和（4）即可．

如图：

（1）中 A→B 的路线长为：．

（2）中 A→B 的路线长为： >AB．

（3）中 A→B 的路线长为：AO+OB>AB．

（4）中 A→B 的路线长为：AB．

得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节

中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算

AB？

在Rt AA′B△中，利用勾股定理可得，已知圆柱

体高为 12cm ，底面半径为 3cm ，π取3，则

．

注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅仅是让学生感知最短路径

的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面

感知后，把探究集中到对圆柱侧面最短路径的探究上．

方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体

步骤大致可以归纳如下：

1．审题——分析实际问题；

2．建模——建立相应的数学模型；

3．求解——运用勾股定理计算；

4．检验——是否符合实际问题的真实性．

李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB，但他随身

只带了卷尺，

（1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD 长是 30 厘米，AB 长是 40 厘米，BD 长是 50 厘米，AD 边垂直

于AB 边吗？为什么？

考点 2 勾股定理的其他应用

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