《八年级数学上册课堂讲义（北师大版）》专题专题01 探索勾股定理（原卷版）

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学科教师辅导教案

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探索勾股定理

【知识导图】

1. 定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用 a，b和c分别表示直角三角形的两直角边

和斜边，那么 a2＋b2＝c2.

2. 勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角三角形三边关系．

3. 数学表达式：在 Rt ABC△中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则 a2＋b2＝c2.

4. 由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些变形关系式：

c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．

利用勾股定理求直角三角形边长的方法：

一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”：即一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边；二

代：代入 a2＋b2＝c2；三化简．

典例精析

探索勾股定理

勾股定理的探索

勾股定理

勾股定理的验证

考点 1 勾股定理（毕达哥拉斯定

理）

知识讲解

1. 若一个直角三角形的两直角边的长分别为 a，b，斜边长为 c，则下列关于 a，b，c的关系式中不正确的是

(　　)

A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2

C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2

2. (中考·淮安)如图，在边长为 1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，B都

是格点，则线段 AB 的长度为(　　)

A．5 B．6 C．7 D．25

与直角三角形三边相连的正方形、半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图形面积的和

等于斜边上图形的面积．

典例精析

1. 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积 S1＝π， S2 ＝ 2π，则 S3＝

________．

2. 如图，字母 B所代表的正方形的面积是(　　)

A．12 B．13

C．144 D．194

3. 如图，直线 l上有三个正方形 a，b，c，若 a，c的面积分别为 3和4，则 b的面积为(　　)

A．16 B．12 C．9 D．7

1. 常用方法：通过拼图法利用求面积来验证．这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，以各

部分面积之间的关系为依据而达到目的的．

2. 用拼图法验证勾股定理的思路：

(1)图形经过割补、拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；

(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；

(3)利用等式性质验证结论成立，即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导结

论．

典例精析

1.历史上对勾股定理的一种验证方法采用了如图所示的图形，其中两个全等直

角三角形的边 AE，EB 在一条直线上，其中用到的面积相等的关系式是(　　)

A．S EDA△＝S CEB△

B．S EDA△＋S CEB△＝S CDE△

C．S四边形 CDAE＝S四边形 CDEB

D．S EDA△＋S CDE△＋S CEB△＝S四边形 ABCD

2．如图是一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将

△ABC 折叠，使点 B与点 A重合，折痕为 DE，则 BE 的长为(　　)

A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm

3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的

距离为 0.7 m，顶端距离地面 2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右

墙时，顶端距离地面 2 m，则小巷的宽度为(　　)

A．0.7 m B．1.5 m

C．2.2 m D．2.4 m

3. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC 在网格

中，顶点均为格点．求点 A到直线 BC 的距离．

4. 如图，AD 是△ABC 的中线，试说明 AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．

类型一勾股定理的探索

如图，Rt ABC△中，∠C=90°，若 AB=15cm，则正方形 ADEC 和正方形 BCFG 的面积和为（）．

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