《八年级数学上册课堂讲义（北师大版）》专题09 一次函数与正比例函数（解析版）

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教学内容

一次函数与正比例函数

【知识导图】

1.如图所示堆放钢管.

（1）填表

一次函数与正比例函数

函数及其表示方法

函数自变量的取值范围

一次函数及正比例函数

一、导入

层数 1 2 3 …

钢管总数

（2）对于给定的层数，钢管的总数确定吗？

1.如图所示堆放钢管.

（1）填表

层数 1 2 3 …

钢管总数

（2）对于给定的层数，钢管的总数确定吗？

2、声音在空气中传播的速度 y（m/s）（简称音速）与气温 x（℃）之间的关系：y=

x+331，x≥0，

（1）当 x 分别为 5，15，30 时，你能求出相应的 y 值吗？

（2）给出任意 x，你能求出对应的 y 值吗？

在上面各例中，都有两个变量，给定其中一个变量的值，相应地就确定了另外一个变量的值。

一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与

其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．

在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做自变量；数值始终不变的量叫做常量；

函数有三种表示形式：

（1）解析式法；（2）列表法；（3）图象法

函数中自变量取值范围的求法：

（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数。

（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围

是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量

的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

二、知识讲解

有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重

量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什

么样的关系，请看：

某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克、弹簧长度 y 增加 0.5 厘

米。

（1）计算所挂物体的质量分别为 1 千克、2 千克、3 千克、4 千克、5 千克时弹簧的长度，并填入下

表：

x/千克 0 1 2 3 4 5

y/厘米 3 3.5 4 4.5 5 5.5

（2）你能写出 x 与 y 之间的关系式吗？

分析：当不挂物体时，弹簧长度为 3 厘米，当挂 1 千克物体时，增加 0.5 厘米，总长度为 3.5 厘米，当

增加 1 千克物体，即所挂物体为 2 千克时，弹簧又增加 0.5 厘米，总共增加 1 厘米，由此可见，所挂物体每

增加 1 千克，弹簧就伸长 0.5 厘米，所挂物体为 x 千克，弹簧就伸长 0.5x 厘米，则弹簧总长为原长加伸长

的长度，即 y=3+0.5x。

2、做一做

某辆汽车油箱中原有汽油 100 升，汽车每行驶 50 千克耗油 9 升。

（1）完成下表：

汽车行驶路程 x/千米 0 50 100 150 200 300

油箱剩余油量 y/升

你能写出 x 与 y 之间的关系吗？（y=100-0.18x 或 y=100-

50 x

）

3、一次函数，正比例函数的概念

上面的两个函数关系式为 y=0.5x+3，y=100-0.18x，都是左边是因变量 y，右边是含自变量 x 的代数

式。并且自变量和因变量的指数都是一次。若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b（k，b 为常数

k≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）.特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例

函数。

类型一函数及其表示

1.对于圆的面积公式 S=πR2,下列说法中，正确的为（）

A.π 是自变量 B.R2是自变量

C.R 是自变量 D.πR2是自变量

【解析】C

【总结与反思】自变量与因变量.

2.下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数的图象是（　　）

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