《2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）》专题6.5 用一次函数解决问题（知识讲解）

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专题 6.5 用一次函数解决问题

（知识讲解）

【学习目标】

1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；

2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；

3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；

4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际

问题的能力．

【要点梳理】

要点一、数学建模的一般思路

数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略 .在建

模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽

象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现 .函数建模最困难的环

节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.

要点二、正确认识实际问题的应用

在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意

的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.

要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考

的热门考点.

要点三、选择最简方案问题

分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过

比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决

实际问题中的重要作用.

【典型例题】

类型一、简单的实际问题

1、甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从 A地出发前往 B地，甲出

发1h 后，y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．

（1）甲的速度是　　km/h；

（2）当 1≤x≤5 时，求 y乙关于 x的函数解析式；

（3）当乙与 A地相距 240km 时，甲与 A地相距　　km．

【思路点拨】（1）根据图象确定出甲的路程与时间，即可求出速度；

（2）利用待定系数法确定出 y乙关于 x的函数解析式即可；

（3）求出乙距 A地240km 时的时间，乘以甲的速度即可得到结果．

【答案与解析】解：（1）根据图象得：360÷6=60km/h；

（2）当 1≤x≤5 时，设 y乙=kx+b，

把（1，0）与（5，360）代入得：，

解得：k=90，b= 90﹣，

则y乙=90x 90﹣；

（3）令 y乙=240，得到 x= ，

则甲与 A地相距 60× =220km，

故答案为：（1）60；（3）220

【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，解决问题的关键是确定函数解析式．

举一反三：

【变式】小刚、小强两人进行百米赛跑，小刚比小强跑得快，如果两人同时跑，小刚肯定

赢，现在小刚让小强先跑若干米，图中的射线

，

分别表示两人跑的路程与时间

的关系，根据图象判断：小刚的速度比小强的速度每秒快（　　）

A．1米 B．1.5 米 C．2米 D．2.5 米

【答案】D；

提示：由图象知小刚让小强先跑 20 米，用 8秒时间追上小强，所以每秒快 2.5 米．

故选 D．图象的交点表示的实际意义：小刚用时 8秒追上小强，距离出发点 64 米．

2、小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行

到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速

度不变），图中折线ABCDE 表示小丽和学校之间的距离 y（米）与她离家时间 x（分钟）

之间的函数关系．

（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；

（2）当 8≤x≤15 时，求 y与x之间的函数关系式．

【思路点拨】（1）根据函数图象，小丽步行5分钟所走的路程为 3900 3650=250﹣米，再

根据路程、速度、时间的关系，即可解答；

（2）利用待定系数法求函数解析式，即可解答.

【答案与解析】

解：（1）根据题意得：

小丽步行的速度为：（3900 3650﹣）÷5=50（米/分钟），

学校与公交站台乙之间的距离为：（18 15﹣）×50=150（米）；

（2）当 8≤x≤15 时，设 y=kx+b，

把C（8，3650），D（15，150）代入得：，

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