《2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）》专题2.11 等边三角形（知识讲解）

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专题 2.11 等边三角形（知识讲解）
【学习目标】
1. 掌握等边三角形的性质和判定.
2. 掌握含 30°角的直角三角形的一个主要性质．
3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
【要点梳理】
要点一、等边三角形
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.　　
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形
包
括等边三角形．
要点二、等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°.
要点三、等边三角形的判定
等边三角形的判定：
　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
要点四、含 30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.　
要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等
于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【典型例题】
类型一、等边三角形
1、 如图，已知△ABC 为等边三角形，D为BC 延长线上的一点，CE 平分
∠ACD，CE=BD，求证：△ADE 为等边三角形．
1
【 思 路 点 拨 】 由 条 件 可 以 容 易 证 明 △ ABD ACE≌△ ， 进 一 步 得 出
AD=AE，∠BAD= CAE∠，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE 为等边三角形．
【答案与解析】
证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B= ACB=60°∠，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE 平分∠ACD，
∴∠1= 2=60°∠，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD ACE≌△ （SAS），
∴AD=AE，∠BAD= CAE∠，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE 为等边三角形．
【总结升华】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边
的条件．
举一反三：
2
【变式】等边△ABC，P为BC 上一点，含 30°、60°的直角三角板 60°角的顶点落在点 P上，
使三角板绕 P点旋转．如图，当 P为BC 的三等分点，且 PE AB⊥时，判断△EPF
的形状.
【答案】
解： ∵PE AB⊥，∠B＝60°，
因此直角三角形 PEB 中，BE＝
1
2
BP＝
1
3
BC＝PC，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP BC⊥，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，
∴△BEP CPF≌△ ，
∴PE＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF 是等边三角形．
2、已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝60°，AD＝CE，求∠BPD 的度数.
【答案与解析】
证明：在
ABC
中，
AB＝AC，∠ABC＝60°
3
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