《2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）》专题2.7 角的平分线（知识讲解）

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专题 2.7 角的平分线（知识讲解）
【学习目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、角的平分线的性质
　　角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD 平分∠ADB，点 P是CD 上一点，且 PE AD⊥于点 E，PF BD⊥于点 F，则 PE＝
PF.
要点二、角的平分线的判定
　 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE AD⊥于点 E，PF BD⊥于点 F，PE＝PF，则 PD 平分∠ADB
1
要点三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以 O为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于D，交 OB 于E.
　　（2）分别以 D、E为圆心，大于
1
2
DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 C.
　　（3）画射线 OC.
射线 OC 即为所求.
要点四、三角形角平分线的性质
三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形
三边的距离相等.
三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.
三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有 4个.如图所示：△ABC
的内心为
1
P
，旁心为
2 3 4
, ,P P P
，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.
【典型例题】
类型一、角的平分线的性质
2
1． 如图，已知 BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC，点 P在BD 上，PM AD⊥于
M，PN CD⊥于N，求证：PM=PN．
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠ABD= CBD∠，然后利用“边角边”证明△ABD
和△CBD 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB= CDB∠，然后根据角平分线上的
点到角的两边的距离相等证明即可．
【答案与解析】
证明：∵BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠ABD= CBD∠，
在△ABD 和△CBD 中，
，
∴△ABD CBD≌△ （SAS），
∴∠ADB= CDB∠，
∵点 P在BD 上，PM AD⊥，PN CD⊥，
∴PM=PN．
【总结升华】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判
定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB= CDB∠是解题的关键．
2、 如图在△ABC 中∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB，DE AB⊥于E，若
AB=6cm，求△DEB 的周长．
【思路点拨】利用角平分线的性质求得 CD=DE，然后利用线段中的等长来计算△DEB 的
3
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