《【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（沪科版）》第13讲 命题与证明（原卷版）

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第13 讲 命题与证明
【学习目标】
1.了解命题、定义、公理、定理、证明及推论的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况
下判断一个命题的真假，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据；
2.理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题与互逆定理，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立；
3.能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行演绎证明.
【基础知识】
一、命题、公理、定理、推论
1.命题
判断一件事情的句子叫命题．其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题．
命题通常由题设、结论两个部分组成，通常可以写成“如果……那么……”的形式.
要点诠释：
命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是
已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．
2.公理
人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．
3.定理
从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的原始依据．
要点诠释：
也就是说同时满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.
（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.
4.推论
由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论.
二、逆命题和逆定理
互逆命题
　　在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的
题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.
1
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆
定理.
三、演绎推理
演绎推理
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为
演绎推理．演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.
要点诠释：
演绎推理的过程就是演绎证明，并不是所有的真理都可以进行演绎证明．
四、三角形内角和定理
定理：三角形的内角和等于 180°.
推论 1：直角三角形的两锐角互余.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
推论 3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论 4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
要点诠释：
三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
【考点剖析】
考点一：反证法证明中的假设
．1．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于 45°”时，首先应该假设这个三角形中(
)
A．有一个内角小于 45° B．每一个内角都小于 45°
C．有一个内角大于等于 45° D．每一个内角都大于等于 45°
考点二：判断是否是命题
．2．下面对一些数学术语定义的描述正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称整数 B．含有未知数的式子叫做方程
C．不相交的两条直线叫做平行线 D．三条边都相等的三角形叫做等边三角形
考点三：逻辑推理与论证
2
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