《【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（沪科版）》第12讲 三角形中的边角关系（解析版）

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第12 讲 三角形中的边角关系
【学习目标】
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．
2. 理解三角形内角和定理的证明方法；
3. 掌握并会把三角形按边和角分类，会应用三角形三边之间的关系；
4. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．
【基础知识】
一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾依次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形
ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母 AB、BC、AC 来表示，也可以用小写字母
a、b、c 来表示，边 BC 用 a 表示，边 AC、AB 分别用 b、c 表示．
二、三角形的分类
1.按角分类：
1
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两
腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
三、三角形的三边关系
定理：三角形中任何两边的和大于第三边.
推论：三角形中任何两边的差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则
这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
四、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
五、三角形中几条重要线段
1.三角形高线、中线、角平分线
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我
们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，
列表如下：
2
线段
名称
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
文字
语言
从三角形的一个顶点向它的
对边所在的直线作垂线，顶
点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶
点和它对边中点的线
段．
三角形一个内角的平分线
与它的对边相交，这个角
的顶点与交点之间的线
段．
图形
语言
作图
语言
过点 A 作 AD⊥BC 于点 D． 取 BC 边的中点 D，连接
AD．
作∠BAC 的平分线 AD，交
BC 于点 D．
标示
图形
符号
语言
1．AD 是△ABC 的高．
2．AD 是△ABC 中 BC 边上的
高．
3．AD⊥BC 于点 D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝
90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD 是△ABC 的中线．
2．AD 是△ABC 中 BC 边
上的中线．
3．BD＝DC＝ BC
4 ． 点 D 是 BC 边 的 中
点．
1． AD 是 △ ABC 的角 平 分
线．
2． AD 平 分 ∠ BAC，交 BC
于点 D．
3．∠1＝∠2＝ ∠BAC．
推理
语言
因为 AD 是△ ABC 的高，所
以 AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因 为 AD 是 △ ABC 的 中
线 ， 所 以 BD ＝ DC ＝
BC．
因为 AD 平分∠BAC，所以
∠1＝∠2＝ ∠BAC．
用途
举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意 1．与边的垂线不同． — 与角的平分线不同．
3
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