《【暑假辅导班】新八年级数学暑假精品课程（沪科版）》第8讲 函数（解析版）

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第8讲 函数
【学习目标】
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的
一个值，会求出相应的函数值．
3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．
4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐
标反映到函数上的含义.
5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、
识图，从图象解释函数变化的关系．
【基础知识】
一、变量、常量的概念
在某一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.
例如， ，速度 60 千米/时是常量，时间 和里程 为变量.
二、函数的定义
一般地，设在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于 在它允许取值范围内的每一个值， 都
有唯一确定的值与其对应，那么就说 是自变量， 是 的函数.
要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解： 前提：必须是在某一运动变化过程中，有两个
变化的量.
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量 的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于 允许取的每一个值， 是否都有唯一确定的值与它
相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
1
②自变量 的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，
自变量 的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
三、函数值
是 的函数，如果当 ＝ 时 ＝ ，那么 叫做当自变量为 时的函数值.
要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自
变量可以是多个.比如： 中，当函数值为 4 时，自变量 的值为±2.
四、自变量取值范围的确定
　　使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
要点诠释：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
五、函数的几种表达方式：
　　变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
　　（1）解析式法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式 .其中的等式叫做函数表达式（或函数解
析式）.
（2）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
（3）图象法：用图象来表示两个变量间的函数关系的方法.
要点诠释：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出两个变量之间的内在联系，但较抽象，
不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定
的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势 ，
而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
六、函数的图象
一般的，对于一个函数，如果把自变量 x与函数 y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐
标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象.
由函数表达式画图象，一般按下列步骤进行：
2
1. 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值.
2. 描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点.
3. 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线一次连接起来.
描出的点越多，描绘的图象误差越小.有时不能把所有的点都描出，就用平滑的曲线连接画出的点，
从而得到表示这个函数关系的近似图像.
要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼
顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描
点和全面反映图象情况.
【考点剖析】
考点一：函数的概念
例1．1．下列关系不是函数关系的是 （ ）
A．长方形的宽一定时，它的长与面积．B．正方形的周长与面积．
C．等腰三角形的底边长与面积．D．等腰三角形顶角的度数与底角的度数．
【答案】C
【分析】
根据函数的概念可直接进行排除选项．
【详解】
长方形的面积=长×宽，当宽一定时，它的长与面积成函数关系故A正确；
正方形面积=正方形的周长的平方的十六分之一，故B正确；
等腰三角形的面积=底边长×底边上的高×0.5，当底边上的高不确定时，等腰三角形的底边长与面积不成函
数关系，故C不正确；
等腰三角形顶角的度数是 180 与底角的度数 2倍的差，等腰三角形顶角的度数与底角的度数成函数关系，
故D正确．
故选 C．
考点二：求自变量的取值范围
例2．2．函数 y= ﹣ 中的自变量 x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＜0且x≠1 C．x＜0 D．x≥0 且x≠1
【答案】D
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