《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习8 三角形的内切圆与内心（解析版）

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练习 8 三角形的内切圆与内心

1．如图，点 I是△ABC 的内心，AI 的延长线交边 BC 于点 D，交△ABC 外接圆于点 E．求证：IE＝BE＝

CE．

【分析】连接 BI，由三角形的内心的性质可得∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，由圆周角定理可得

∠BAE＝∠CBE＝∠CAE＝∠BCE，可得 BE＝CE，由外角的性质可得∠BIE＝∠IBE，IE＝BE，即可得

结论；

【解答】证明：连接 BI，

∵点 I是△ABC 的内心，

∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，

∵∠CBE＝∠CAE，∠BCE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠CBE＝∠CAE＝∠BCE，

∴BE＝CE

∵∠BIE＝∠ABI+∠BAE，∠IBE＝∠CBI+∠CBE，

∴∠BIE＝∠IBE，

∴IE＝BE，

∴IE＝BE＝CE；

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，考查了三角形内心的性质，圆周角定理，等腰三角形的判

定，证明∠BIE＝∠IBE 是解题关键．

2．如图，⊙I是△ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F．

（1）若∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DFE 的度数为　 60° 　；

（2）若∠DFE＝50°，求∠A的度数．

【分析】（1）直接利用切线的性质结合三角形内角和定理以及圆周角定理得出答案；

（2）利用圆周角定理得出∠DIE 的度数，进而得出∠A的度数．

【解答】解：（1）连接 ID、IE，

∵∠B＝50°，∠C＝70°，

∴∠A＝60°，

∵⊙I是△ABC 的内切圆，切点分别是 D、E、F，

∴∠IDA＝∠IEA＝90°，

∴∠DIE＝180° 60°﹣＝120°，

∴∠DFE 的度数为：60°；

故答案为：60°；

（2）∵∠DFE＝50°，

∴∠DIE＝100°，

∵AB、AC 分别与⊙I相切于点 D、E，

∴∠ADI＝∠AEI＝90°，

∴∠A＝80°．

【点评】此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心

与三角形顶点的连线平分这个内角．

3．如图，I是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点 D．DB 与DI 相等吗？为什么？

【分析】连接 BI ，根据圆周角定理得到 ∠ DBC ＝ ∠ DAC ，根据三角形内心的概念得到∠ ABI ＝

∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明即可．

【解答】解：DB＝DI，

理由如下：连接 BI，

由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，

∵I是△ABC 的内心，

∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，

由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，

∴∠DIB＝∠DBI，

∴DB＝DI．

【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定，圆周角定理，掌握三角形的内心是

三角形三条角平分线的交点是解题的关键．

4．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F．连接 DF 并延长交 BC

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