《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习7 三角形的外接圆与外心（解析版）

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练习 7 三角形的外接圆与外心
1．如图，⊙O的半径为 2，△ABC 是⊙O的内接三角形，AB＝2
√
2
．
（1）求∠C的度数；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 OA，OB．得出 OA2+OB2＝AB2，则∠AOB＝90°，可求出答案；
（2）根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案．
【解答】解：（1）连接 OA，OB．
△OAB 中，OA＝OB＝2，AB＝2
√
2
，
∴OA2+OB2＝22+22＝8，
A B2=¿
8，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C
¿1
2
∠AOB＝45°；
（2）∵∠AOB＝90°，OA＝2，
1
∴S扇形 OAB
¿90
360 ×
π×4＝π，S△OAB
¿1
2×
2×2＝2，
∴S阴影＝S扇形 OAB﹣S△OAB＝π2﹣．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心的性质，扇形的面积，圆周角定理，熟练掌握圆的性质是解
题的关键．
2．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三
角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
（1）如图 1，点 P在线段 BC 上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点 P是△APD 的准
外心；
（2）如图 2，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC 的准外心 P在△ABC 的直角边上
试求 AP 的长．
【分析】（1）利用全等证明 PA＝PD，由定义可知点 P是△APD 的准外心；
（2）先利用勾股定理计算 AC＝4，再进行讨论：当 P点在 AB 上，PA＝PB 和当 P点在 AC 上，PA＝
PC，易得对应 AP 的值；当 P点在 AC 上，PB＝PC，如图 2，设 AP＝t，则 PC＝PB＝4﹣x，利用勾股
定理得到 32+t2＝（4﹣t）2，然后解方程得到即此时 AP 的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，
∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，
∴∠PAB＝∠DPC，
在△ABP 和△PCD 中，
{
∠PAB=∠DPC
∠ABP=∠PCD
BP=CD
，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AP＝PD，
∴点 P是△APD 的准外心；
（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，
2
∴AC
4，
当P点在 AB 上，PA＝PB，则 AP
¿1
2
AB
¿3
2
；
当P点在 AC 上，PA＝PC，则 AP
¿1
2
AC＝2，
当P点在 AC 上，PB＝PC，如图 2，
设AP＝t，则 PC＝PB＝4﹣x，
在Rt△ABP 中，32+t2＝（4﹣t）2，解得 t
¿7
8
，
即此时 AP
¿7
8
，
综上所述，AP 的长为
3
2
或2或
7
8
．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，
叫做三角形的外心．也考查了•新定义的运用能力和勾股定理．
3．如图，已知△ABC 是⊙O的内接三角形，AD 是⊙O的直径，连结 BD，BC 平分∠ABD．
（1）求证：∠CAD＝∠ABC；
（2）若 AD＝6，求
^
CD
的长．
【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；
（2）由圆周角定理可得
^
CD=
^
AC
，由弧长公式可求解．
【解答】解：（1）∵BC 平分∠ABD，
3
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