《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习6 切线的判定与性质（解析版）

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练习 6 切线的判定与性质
1．如图，AC 是⊙O的直径，BC 是⊙O的弦，点 P是⊙O外一点，连接 PB，AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB 是⊙O的切线；
（2）连接 OP，交 AB 于点 Q，若 OP∥BC，且 OP＝6，⊙O的半径为 2，求 BC 的长．
【分析】（1）连接 OB，由圆周角定理得出∠ABC＝90°，得出∠C+∠BAC＝90°，再由 OA＝OB，得出
∠BAC＝∠OBA，证出∠PBA+∠OBA＝90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出 BC 的长．
【解答】（1）证明：连接 OB，如图所示：
∵AC 是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
1
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB 是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为 2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴
BC
OB =AC
OP
，
即
BC
2=4
6
，
∴BC
¿4
3
．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆
周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
2．如图，圆 O的直径 AB＝12cm，C为AB 延长线上一点，点 P为
^
BD
中点，过点 B作弦 BD∥CP，连接
PD．
（1）求证：CP 与圆 O相切；
（2）若∠C＝∠D，求四边形 BCPD 的面积．
【 分 析 】 （ 1） 连 接 OP ， 交 BD 于 点 E， 根 据 垂 径 定 理 得 出 BD⊥OP ， 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到
CP⊥OP，根据切线的判定即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠POB＝2∠D，根据三角形的内角和得到∠C＝30°，推出四边形 BCPD 是平
2
行四边形，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接 OP，交 BD 于点 E，
∵点 P为
^
BD
的中点．
∴BD⊥OP，
∵BD∥CP，
∴∠OEB＝∠OPC＝90°
∴PC⊥OP，
∴CP 与⊙O相切于点 P；
（2）解：∵∠C＝∠D，
∵∠POB＝2∠D，
∴∠POB＝2∠C，
∵∠CPO＝90°，
∴∠C＝30°，
∵BD∥CP，
∴∠C＝∠DBA，
∴∠D＝∠DBA，
∴BC∥PD，
∴四边形 BCPD 是平行四边形，
∵PO
¿1
2
AB＝6，
∴PC＝6
√
3
，
∵∠ABD＝∠C＝30°，
∴OE
¿1
2
OB＝3，
∴PE＝3，
∴四边形 BCPD 的面积＝PC•PE＝6
3＝18
√
3
．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅
3
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