《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习4 圆周角定理（解析版）

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练习 4 圆周角定理
1．如图，AB 是⊙O的直径，点 C，D在⊙O上，且
^
AC=
^
BC
，连接 CD，交 AB 于点 E，连接 BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC 的度数；
（2）∠ABD 的平分线交 CD 于点 F，求证：BC＝CF．
【分析】（1）连接 AC，求出∠A＝∠ABC＝45°，由三角形外角的性质可得出答案；
（2）由角平分线的定义得出∠EBF ＝∠DBF ，由圆周角定理得出∠ABC ＝∠CDB ，证得∠CBF＝
∠CFB，则可得出结论．
【解答】解：（1）连接 AC，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵
^
AC=
^
BC
，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
1
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC 是△ACE 的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）证明：∵BF 平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵
^
AC=
^
BC
，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，
熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2．如图，已知 AB 是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦 AB 上的任意一点（不与点 A、B重合），连接
CO 并延长 CO 交⊙O于点 D，连接 AD．
（1）求弦 AB 的长；
（2）当∠D＝20°时，求∠BOD 的度数．
【分析】（1）过点 O作OE⊥AB 于E，由垂径定理和直角三角形的性质即可求得 AB 的长；
（2）连接 OA，由 OA＝OB，OA＝OD，可得∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，则可求得∠DAB 的度数，
又由圆周角定理即可求得∠BOD 的度数；
【解答】解：（1）过点 O作OE⊥AB 于E，如图：
则AE＝BE
¿1
2
AB，∠OEB＝90°，
∵OB＝2，∠B＝30°，
∴OE
¿1
2
OB＝1，BE
¿
√
3
OE
¿
√
3
，
2
∴AB＝2BE＝2
√
3
；
（2）连接 OA，如图：
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，
∴∠DAB＝∠BAO+∠DAO＝∠B+∠D，
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠DAB＝50°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝100°．
【点评】此题考查了垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理
和垂径定理是解题的关键．
3．如图所示，AB 是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交⊙O于点 D，点 E在⊙O上．
（1）若∠AOD＝56°，求∠DEB 的度数；
（2）若 DC＝2，OA＝5，求 AB 的长．
【分析】（1）先根据垂径定理得到
，然后利用圆周角定理得到∠DEB
¿1
2
∠AOD；
（2）根据垂径定理得到 AC＝BC，然后利用勾股定理计算出 AC 即可．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，
∴
^
AD=
^
BD
，
∴∠DEB
¿1
2
∠AOD
¿1
2
×
56°＝28°；
（2）∵OD⊥AB，
∴AC＝BC，
3
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