《【补习教材+寒假作业】九年级数学（苏科版）》练习1 一元二次方程根与系数的关系（解析版）

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练习 1 一元二次方程根与系数的关系
1．关于 x的一元二次方程 x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求证：无论 k取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个根 x1，x2满足 3x1+3x2﹣x1x2＝6，求 k的值．
【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到 x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而 3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以 3（2k+1）﹣2k
＝6，然后解关于 k的方程即可．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]24×1×2﹣k
＝（2k+1）2≥0，
∴无论 k取何值，所以方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得 x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，
∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，
∴3（2k+1）﹣2k＝6，
∴k
¿3
4
．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2
¿−b
a
，x1x2
¿c
a
．也考查了根的判别式．
2．已知关于 x的一元二次方程 x22﹣（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数 m的最小整数值；
（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为 x1，x2，求代数式（x11﹣）•（x21﹣）的值．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于 m的一元一次不等式，解之
即可得出 m的取值范围，从而求得 m的最小整数值；
1
（2）根据根与系数的关系即可得出 x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，代入整理后的代数式即可得出得
出m的值．
【解答】解：（1）∵方程 x22﹣（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[ 2﹣（m+1）]24﹣（m2+5）＝8m16﹣＞0，
解得：m＞2．
∴实数 m的最小整数值是 3；
（2）∵原方程的两个实数根为 x1、x2，
∴x1+x2＝2（m+1），x1•x2＝m2+5．
∵（x11﹣）•（x21﹣）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝m2+5 2﹣（m+1）+1＝（m1﹣）2+3＝7．
【点评】本本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（ 1）根据方程有两个不相等
的实数根找出△＝8m16﹣＞0；（2）掌握 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2
¿−b
a
，x1x2
¿c
a
．
3．已知关于 x的方程 x23﹣x﹣m2＝0．
（1）不解方程，判断该方程根的情况；
（2）设方程的两实数根分别为 x1、x2，若 x1+2x2＝2，试求 m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝9+4m2＞0，由此得出方程有两个不相等的
实数根；
（2）先根据根与系数的关系计算 x1+x2＝3，x1•x2＝﹣m2，而 x1+2x2＝2，可求得把 x1、x2的值，然后 d
代入 x1•x2＝﹣m2可求出 m的值．
【解答】解：（1）方程 x23﹣x﹣m2＝0，
∵△＝（﹣3）24×1×﹣（﹣m2）＝9+4m2＞0，
∴方程 x23﹣x﹣m2＝0有两个不相等的实数根．
（2）∵x23﹣x﹣m2＝0，
∴x1+x2＝3，
∴x1＝3﹣x2，
∵x1+2x2＝2，
∴3﹣x2+2x2＝2，
∴x2＝﹣1，
∴x1＝4，
2
∴﹣m2＝﹣4，
∴m＝±2．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的
表达式，并会熟练计算．
4．已知关于 x的一元二次方程 x2+2x+k＝0．
（1）若该方程的一个根为 1，求 k的值及该方程的另一根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求 k的取值范围．
【分析】（1）由于 x＝1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出 k的值，然后解方程可以求出方
程的另一根．
（2）根据判别式公式，令△＞0，得到关于 k的一元一次不等式，解之即可．
【解答】解（1）把 x＝1代入 x2+2x+k＝0得 1+2+k＝0，
∴k＝﹣3，
原方程为 x2+2x3﹣＝0，
（x+3）（x1﹣）＝0，
∴x＝﹣3或x＝1，
故k值为﹣3，另一根为﹣3．
（2）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝224﹣k＞0，
∴k＜1．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（ 1）正确掌握解一元二次方程的方
法，（2）正确掌握一元二次方程根的判别式公式．
5．已知关于 x的一元二次方程 x2+2（k1﹣）x+k21﹣＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数 k的取值范围；
（2）若方程的两根 x1，x2满足 x12+x22＝16，求 k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于 k的一元一次不等式，解之即可得
出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系及 x12+x22＝16，即可得出关于 k的一元二次方程，解之即可得出 k值，再结
合（1）的结论即可确定 k的值．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2（k1﹣），c＝k21﹣，
∴△＝b24﹣ac＞0，即[2（k1﹣）]24×1×﹣（k21﹣）＞0，
∴k＜1．
3
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