《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题19 圆与相似三角形（解析版）

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专题十九圆与相似三角形

【导例】

1.已知：如图，MN 为⊙O的直径，ME 是⊙O的弦，MD 垂直于过点 E的直线 DE，垂足为

点D，且 ME 平分∠DMN．

求证：（1）DE 是⊙O的切线；

（2）ME2＝MD•MN．

【解析】（1）∵ME 平分∠DMN，

∴∠OME＝∠DME，

∵OM＝OE，

∴∠OME＝∠OEM，

∴∠DME＝∠OEM，

∴OE∥DM，

∵DM⊥DE，

∴OE⊥DE，

∵OE 过O，

∴DE 是⊙O的切线；

（2）

连接 EN，

∵DM⊥DE，MN 为⊙O的直径，

∴∠MDE＝∠MEN＝90°，

∵∠NME＝∠DME，

∴△MDE∽△MEN，

∴

＝

，

∴ME2＝MD•MN

【方法点睛】

圆中很容易出现相等角，如：①圆周角；②半径构成的等腰三角形；*③弦切角.

而相似三角形只需要通过两对角分别相等即可得证（往往含有公共角），此时就可以

利用相似三角形的相似比进行线段的求解（相似比经常能与三角函数挂钩）.

【典例精讲】

一、出现比例设方程

【例 1】如图，已知 Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC 的中点，以 AC 为直径的⊙O交AB 于

点E．

（1）求证：DE 是⊙O的切线；

（2）若 AE：EB＝1：2，BC＝6，求 AE 的长．

【解析】（1）证明：

连接 OE、EC，

∵AC 是⊙O的直径，

∴∠AEC＝∠BEC＝90°，

∵D为BC 的中点，

∴ED＝DC＝BD，

∴∠1＝∠2，

∵OE＝OC，

∴∠3＝∠4，

∴∠1+ 3∠＝∠2+ 4∠，

即∠OED＝∠ACB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠OED＝90°，

∴DE 是⊙O的切线；

（2）解：由（1）知：∠BEC＝90°，

∵在 Rt△BEC 与Rt△BCA 中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，

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