《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题17 对角互补型旋转（解析版）

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专题 17 旋转构造特殊三角形（对角互补）

【专题导入】

1.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠A= C=90°∠

（1）连接 AC，把△ACD 绕点 A顺时针旋转 90°，得到△ABE，试画出图形；

（2）证明：DC+BC=

√

AC.

【解析】（1）△ABE 即为所求.

（2）由（1）可得△ABE ADC≌△ ，

∴BE=DC，AC=AE，∠EAB= DAC.∠

∠EAC= EAB+ BAC= DAC+ BAC= BAD=90°.∠ ∠ ∠ ∠ ∠

在△AEC 中，∠CAE=90°，AE=AC，

∴△AEC 是等腰直角三角形.

EC=

√

AC，

又EC=EB+BC=DC+BC，

∴DC+BC=

√

AC.

【方法点睛】

在题干或能从题干中提取出四边形的①存在同一顶点的边相等；②对角互补这两个条件，可以尝试使

用.

步骤：

①连接对角线（夹在相等线段中间的）；

②以两条相等边的顶点为旋转中心，夹角为旋转角进行旋转，这样就能使两个三角形合并成一个三角

形.

*常见的旋转角为 90°，60°（能构出等腰直角三角形或等边三角形）.

【典例精析】

【例 1】如图，在△A BC 中，∠B A C =120° ，以 BC 为边向形外作等边三角形 BCD ，把△ABD 绕着点

D按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD，且 A、C、E三点共线，若 AB=3 ，AC=2，求∠B A D 的

度数与 AD 的长．

【解析】∵△ABD 绕着点 D按顺时针方向旋转 60°后得到△E C D，

∴∠AD E = 60° ，D A=DE ，

∴△AD E 为等边三角形，

∴∠DA E = 60° ．

∵点A、C、E在一条直线上，

∴∠B A D = ∠BAC- ∠DAE=12 0 °-60°=6 0 ° ．

∵点A、C、E在一条直线上，

∴AE=AC+ CE．

∵△A B D 绕着点 D按顺时针方向旋转 60°后得到△ECD，

∴CE=AB ，

∴AE=AC+ AB=2+3 = 5．

∵△AD E 为等边三角形，

∴A D= A E= 5 ．

同步练习 1. 在△ABC 中，∠ABC=1 2 0°，线段 AC 绕点 A逆时针旋转 60°得到线段 AD，连接

CD，B D 交A C 于P．

（1）若∠BA C = α，直接写出∠BCD 的度数（用含 α的代数式表示）；

（2）求 AB ，B C ，BD 之间的数量关系；

（3）当 α=3 0 °时，直接写出 AC，BD 的关系．

【解析】（1）∵线段 AC 绕点 A逆时针旋转 60°得到线段 AD，

∴△ACD 是等边三角形，

∴∠ACD = 6 0°，

∵∠AB C = 1 20°，

∴∠BA C + ∠BCA = 6 0°，

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