《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题15 半倍角模型（原卷版）

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专题 15 半倍角模型

【导入】

如图，已知△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是BC 边上的点，将△ABD 绕点 A旋转，得到△ACD

′．

（1）求∠DAD′的度数．

（2）当∠DAE＝45°时，求证：DE＝D′E；

【方法点睛】

图形分析（关键点）：共顶点的两边相等（旋转必备条件），夹角的一半（旋转角的一半，旋转后形

成角平分线）

OA=OB，∠2= 1+ 3∠ ∠

把△OBF 旋转至△OBF′

此时 OE 平分∠F′OF.

即∠2= 1+ 4∠ ∠

【例 1】如图，E是正方形 ABCD 中CD 边上一点，以点 A为中心把△ADE 顺时针旋转 90°．

（1）在图中画出旋转后的图形；

（2）若旋转后 E点的对应点记为 M，点 F在BC 上，且∠EAF＝45°，连接 EF．

①求证：△AMF≌△AEF；

②若正方形的边长为 6，AE＝3

√

，则 EF＝　　．

【例 2】如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝α，点 D、E在AB 边上（点 D在点 E的右侧），且∠ACB

＝2∠DCE．将线段 CD 绕点 C顺时针旋转 α角得到线段 CF，连结 AF、EF．

【感知】如图①，当 α＝60°时，则△CBD≌△CAF，△CDE≌△CFE．（不需要证明）

【探究】如图②，当 α＝90°时，

（1）∠EAF 的度数为　　．

（2）线段 AE、ED、DB 之间什么数量关系？请说明理由．

【应用】（3）如图③，当 α＝120°，∠BCD＝15°时，请直接写出△BCD、△DCE、△ACE 这三个三角

形的面积比．

【例 3】已知四边形 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN 绕B

点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．

（1）当∠MBN 绕B点旋转到 AE＝CF 时（如图 1），试猜想线段 AE、CF、EF 之间存在的数量关系为

．（不需要证明）；

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