《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题14 二次函数中线段最值与面积最值（铅垂法）（解析版）

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专题 14 二次函数中线段最值与面积最值（铅垂法）

【导入】

1. 如图，已知二次函数 y=x2-4x+3 的图象交 x轴于点 A（1，0），B（3，0），交 y轴于点 C．

直线 y=-x+3 交抛物线于 B,C 两点. 直线 x=m（0≤m≤3）分别交直线 BC 和抛物线于点 M，N.

（1）点 M的坐标为_____，点 N的坐标为______；

（2）线段 MN 的长度为___________；（用含 m的代数式表示）

（3）当 m为何值时，MN 的长度最大？最大值是多少？

【答案】（1）M（m，-m+3） N（m，m2-4m+3）；

（2）3m-m2.

解析：MN=|m2-4m+3+m-3|=|m2-3m|，

∵0≤m≤3，

∴MN=3m-m2.

（3）MN=3m-m2=-（m-

）2+

当m=

时，MN 的最大值为

【方法技巧】

平行于 y轴的线段最值问题：

（1）首先表示出线段两个端点的坐标；

（2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标；

（3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式；

（4）将其化为顶点式，并根据 a的正负及自变量的取值范围判断最值.

变式类型：

若点 D为抛物线上的动点，ED⊥AB，可以过点 E作EF∥y 轴，通过三角函数把求线段 DE 的最值

转化为求线段 EF 的最值.

延伸：铅垂法

如图，过△

ABC

的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△

ABC

的“水平

宽”(

)，中间的这条直线在△

ABC

内部线段的长度叫△

ABC

的“铅垂高(

)”.我们可得出一种计算三角形面

积的新方法：

SΔ ABC=1

2ah

，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

【例 1】如图，直线 y＝﹣x+5 与x轴交于点 B，与 y轴交于点 D，抛物线 y＝﹣x2+bx+c与直线 y＝﹣x+5 交

于B，D两点，点 C是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 M是直线 BD 上方抛物线上的一个动点，其横坐标为 m，过点 M作x轴的垂线，交直线 BD 于点

P，当线段 PM 的长度最大时，求 m的值及 PM 的最大值.

【解析】解：（1）y＝﹣x+5，令 x＝0，则 y＝5，令 y＝0，则 x＝5，

故点 B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），

则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点 B坐标代入上式并解得：b＝4，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；

（2）设 M点横坐标为 m（m＞0），则 P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），

∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣

）2+

，

∴当 m＝

时，PM 有最大值

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