《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题13 二次函数含参型 （解析版）

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专题 13 二次函数含参型
【导入】
1. 抛物线 y=x2+mx-
3
4
m2（m＞0）与 x轴的两个交点分别为 A，B（点 A在点 B的左侧）.
（1）求证：抛物线与 x轴必有 2个交点；
（2）抛物线的对称轴为______，与 y轴的交点坐标为_______，与 x轴的交点坐标为_________
（用含 m的代数式）.
【解析】（1）证明：当抛物线与 x轴相交时，
即x2+mx-
3
4
m2=0，
Δ=m2-4×1×（-
3
4
m2）=4m2＞0，
故抛物线与 x轴必有 2个交点.
（2）-
m
2
（0，-
3
4
m2） （-
3
2
m，0），（
1
2m
，0）.
【方法技巧】
遇到含参型的二次函数题目，我们往往需要自己去画出草图.对于如何画出一个二次函数的草图，我
们通常的关注点有：
①开口方向，对称轴；
②与坐标轴的交点.
由于系数的不同，我们可能可以得出定点或确定的对称轴，也有可能得出带着参数的点和对称轴，
此时我们应该根据题意，结合二次函数的性质去求解.
注意分类讨论的情况，做到不重不漏.
1
【例 1】在平面直角坐标系中，设二次函数 y＝x2﹣x﹣a2﹣a，其中 a＞0．
（1）若函数 y的图象经过点（1，﹣2），求函数 y的解析式；
（2）若抛物线与 x轴的两交点坐标为 A，B（A点在 B点的左侧），与 y轴的交点为 C，满足 OC＝2OB
时，求 a的值．
（3）已知点 P（x0，m）和 Q（1，n）在函数 y的图象上，若 m＜n，求 x0的取值范围．
【解析】（1）函数 y1的图象经过点（1，﹣2），得
﹣a2﹣a＝﹣2，
整理，得（a+1）（﹣a）＝﹣2，
解得 a1＝﹣2，a2＝1，
函数 y1的表达式 y＝（x2﹣）（x+2 1﹣），化简，得 y＝x2﹣x2﹣；
函数 y1的表达式 y＝（x+1）（x2﹣）化简，得 y＝x2﹣x2﹣，
综上所述：函数 y的表达式 y＝x2﹣x2﹣；
（2）当 y＝0时x2﹣x﹣a2﹣a＝0
整理，得
（x+a）（x﹣a1﹣）＝0，
解得 x1＝﹣a，x2＝a+1，
y的图象与 x轴的交点是 A（﹣a，0），B（a+1，0），
当x＝0时，y＝﹣a2﹣a．即 C（0，﹣a2﹣a）
∵OC＝2OB，
∴|﹣a2﹣a|＝2|a+1|．
∵a＞0，
∴a2+a＝2a+2，
整理，得
2
a2﹣a2﹣＝0，
（a2﹣）（a+1）＝0，
解得 a1＝2，a2＝﹣1（舍去）．
（3）当 P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得 0＜x0≤
1
2
；
当时 P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得
1
2
＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求 x0的取值范围 0＜x0＜1．
【例 2】已知抛物线 y＝x2+kx+k1﹣．
（1）当 k＝3时，求抛物线与 x轴的两个交点坐标；
（2）无论 k取任何实数，抛物线过 x轴上一定点，求定点坐标；
（3）点 E（﹣1，1），点 F（﹣2，2），抛物线与线段 EF 只有一个交点，求 k的取值范围.
【解析】（1）解：∵y＝x2+kx+k1﹣，
∴当 k＝3时，y＝x2+3x+2，
令y＝0，得 x2+3x+2＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴抛物线与 x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣2，0）．
（2）证明：方法一：∵y＝x2+kx+k1﹣，
3
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