《《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》》专题07 二次函数中相似三角形存在性（2）——非直角三角形 （解析版）

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专题 07 二次函数中相似三角形存在性（2）——非直角三角形
【专题导入】
1.如图，已知点 A,B 在x轴上，C在y轴上. 其中点 A（3,0），B（-1,0），C（3,0）.
（1）∠A=_____°；
（2）tan B=_____；
（3）求 sin ACB∠的值.
【解析】（1）45°（△OAC 是等腰直角三角形）；
（2）3（Rt BOC△中，CO=3,BO=1）；
（3）根据题中条件，可得 AB=4，CA=
√
OA2+CO2
=3
√
2
，CB=
√
BO2+CO2
=
√
10
.
过点 B作BD AC⊥，垂足为 D.
根据等面积法可得
1
2
AB·CO=
1
2
CA·BD，
解得 BD=2
√
2
.
sin ACB=∠
=
2
√
2
√
10
=
2
√
5
5
.
【方法技巧】
1
要找两个三角形相似，基本都需要用到“角相等”，遇到非直角三角形时，我们需要根据给出的三
角形的角度特征进行解题.
①60°，30°，45°等角度，可以通过观察点的位置简单得出；（第 1题（1）问）
②遇到不能直接得出特殊角的度数，若一边在坐标轴上时，可以通过过这边外的一点作垂线，得到
直角三角形，从而得出相应的三角函数值；（第 1题（2）问）
③遇到 2个边不在坐标轴上，又明显不是特殊角，可尝试使用等面积法得出相应的高，从而得出三
角函数值.（第一题（3）问）
【例 1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2-4x-5，与 x轴交于 A（-1，0），B（5，0）
两点，与 y轴交于点 C．若点 D是y轴上的一点，且以 B，C，D为顶点的三角形与△ABC 相似，求
点D的坐标.
【解析】如图 1，
令x=0，则 y=-5，
∴C（0，-5），
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6，BC=5
√
2
，AC=
√
26
要使以 B，C，D为顶点的三角形与△ABC 相似，
∵∠ACB≠∠BCD，
则有
AB
CD
＝
BC
BC
或
AB
BC
＝
BC
CD
2
①当
AB
CD
＝
BC
BC
时，
∴CD=AB=6，
∴D（0，1），
② 当
AB
CB
＝
BC
CD
时，
∴
6
5
√
2
＝
5
√
2
CD
.
∴CD=
25
3
，
∴D（0，
10
3
）
即：D的坐标为（0，1）或（0，
10
3
）．
【例 2】如图，抛物线与 x轴相交于点 A（-3，0）、点 B（1，0），与 y轴交于点 C（0，3），点
D是第二象限内抛物线上一动点．
（1）求这条抛物线的解析式；并写出顶点坐标；
（2）连接 OD 交线段 AC 于点 E．当△AOE 与△ABC 相似时，求点 D的坐标.
【解析】（1）设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c，将点 A（-3，0），B（1，0），C（0，3）分别
代入得：
{
9a −3b+c=0，
a+b+c=0，
c=3.
3
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