第二十六章 二次函数（基础过关）（解析版）

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第二十六章 二次函数（基础过关）
考试时间：90 分钟
一、选择题（每小题 4分，共 24 分）
1.已知函数：① y＝2x﹣1；② y＝﹣2x2﹣1；③ y＝3x3﹣2x2；④ y＝2x2﹣x﹣1；⑤ y＝ax2+bx+c，其中二次
函数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数定义：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函
数进行分析即可．
【解答】解：②④是二次函数，共 2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）是二次函
数，注意 a≠0这一条件．
【知识点】二次函数的定义
2.将抛物线 y＝5（x﹣1）2+1 向上平移 2个单位长度，再向右平移 3个单位长度，则所得抛物线的解析式
为（　　）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣4）2﹣1
C．y＝5（x﹣4）2+3 D．y＝5（x﹣3）2+4
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【解答】解：将抛物线 y＝5（x﹣1）2+1 向上平移 2个单位长度，得到平移后解析式为：y＝5（x﹣
1）2+1+2，即 y＝5（x﹣1）2+3，
∴再向右平移 3个单位长度所得的抛物线解析式为： y＝5（x﹣1﹣3）2+3，即 y＝5（x﹣
4）2+3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
【知识点】二次函数图象与几何变换
3.如图，一次函数 y＝ax+a和二次函数 y＝ax2的大致图象在同一直角坐标系中的可能是（　　）
A．B．
C．D．
【分析】根据 a的符号分类，a＞0时，在 A、B中判断一次函数的图象是否相符，a＜0时，在 C、D中进
行判断．
【解答】解：①当 a＞0时，二次函数 y＝ax2的开口向上，一次函数 y＝ax+a的图象经过第一、二、三象
限，排除 A；
②当 a＜0时，二次函数 y＝ax2的开口向下，一次函数 y＝ax+a的图象经过第二、三、四象限，
排除 C、D．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解．
【知识点】一次函数的图象、二次函数的图象
4.已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点 M（﹣1，2）和点 N（1，﹣2），则下列说法错误的是（
）
A．a+c＝0
B．无论 a取何值，此二次函数图象与 x轴必有两个交点，且函数图象截 x轴所得的线段长度必大于 2
C．当函数在 x＜ 时，y随x的增大而减小
D．当﹣1＜m＜n＜0时，m+n＜
【分析】
A．把 M、N的坐标代入解析式得到两个三元一次方程，进而可求得 a+c的值，
B．令 y＝0，求出△，判断图象与 x轴的交点个数，根据根的个数与根的判别式的关系得解；
C．求出对称轴，然后结合 a的取值范围判断；
D．根据 a的取值范围，判断 的箱号便可得结果．
【解答】解：∵函数经过点 M（﹣1，2）和点 N（1，﹣2），
∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2，
∴a+c＝0，b＝﹣2，
∴A正确；
∵c＝﹣a，b＝﹣2，[来源:学科网]
∴y＝ax2﹣2x﹣a，
∴△＝4+4a2＞0，
∴无论 a为何值，函数图象与 x轴必有两个交点，
∵x1+x2＝ ，x1x2＝﹣1，
∴|x1﹣x2|＝2＞2，
∴B正确；
二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴 x＝﹣ ＝ ，
当a＞0时，不能判定 x＜ 时，y随x的增大而减小；
∴C错误；
∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0，
∴m+n＜0， ＞0，
∴m+n＜ ；
∴D正确，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点，交点坐标和系数的关系，熟悉抛物线的对称性及抛物线与 x轴
的交点坐标是本题的关键．
【知识点】二次函数图象与系数的关系、抛物线与 x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征
5.已知抛物线 y＝2x2﹣4x+c与直线 y＝2有两个不同的交点．下列结论：
①c＜4；
②当 x＝1时，y有最小值 c﹣2；
③方程 2x2﹣4x+c﹣2＝0有两个不等实根；
④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则 c＝ ．
其中正确的结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】①把 y＝2代入抛物线的解析式得到 2＝2x2﹣4x+c，根据﹣8c+32＞0，求得 c＜4，故①正确；
②把抛物线的解析式化为顶点式 y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，于是得到当 x＝1时，y有
最小值 c﹣2；故②正确；
③根据已知条件即可得到方程 2x2﹣4x+c﹣2＝0有两个不等实根；故③正确；
④解方程得到这两个交点的坐标分别为（ ，2），（ ，2），求得这两个
交点的距离为 ，根据等腰直角三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：①∵当 y＝2时，2＝2x2﹣4x+c，
∴2x2﹣4x+c﹣2＝0，
∴△＝16﹣4×2×（c﹣2）＝﹣8c+32，
∵抛物线 y＝2x2﹣4x+c与直线 y＝2有两个不同的交点，
∴﹣8c+32＞0，
解得：c＜4，故①正确；
②∵y＝2x2﹣4x+c＝2（x﹣1）2+c﹣2，
∴当 x＝1时，y有最小值 c﹣2；故②正确；
③∵抛物线 y＝2x2﹣4x+c与直线 y＝2有两个不同的交点，
∴方程 2x2﹣4x+c﹣2＝0有两个不等实根；故③正确；
④解方程 2x2﹣4x+c﹣2＝0得，x1＝ ，x2＝ ，
∴这两个交点的坐标分别为（ ，2），（ ，2），
∴这两个交点的距离为 ，
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