第二十六章 反比例函数（单元总结）-2020-2021学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）（解析版）

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第二十六章 反比例函数
单元总结
【知识要点】
知识点一 反比例函数的基础
反比例函数的概念：一般地，形如 （ 为常数， ）的函数称为反比例函数。
表现形式： 还可以写成 和 xy= k 的形式
【注意】反比例函数 的自变量 x≠0，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点。
反比例函数解析式的特征:
1.等号左边是函数 ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 （也叫做比例系数
），分母中含有自变量 ，且指数为 1.
2.比例系数
3.自变量 的取值为一切非零实数。
4.函数 的取值是一切非零实数。
知识点二 反比例函数的图像和性质
图像的画法：描点法
1.列表（应以 O 为中心，沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）
2.描点（由小到大的顺序）
3.连线（从左到右光滑的曲线）
图像的特征：
1.函数的图像是双曲线．
2.图像的对称性：
图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上．
图象关于直线 y = x 或 y= -x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ，
）在双曲线的另一支上．
3.k 的取值与函数图象弧度之间的关系：
|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．
反比例函数的性质：
的取值 图像所在象限 函数的增减性
k>0 一、三象限 在每个象限内， 值随 的增大而减小
k>0 二、四象限 在每个象限内， 值随 的增大而增大
【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，
不能一概而论
1
知识点三 k 值的意义（难点）
1）设点 P（a，b）是双曲线上 任意一点，作 PA⊥x 轴于 A 点，PB⊥y 轴于 B 点，则矩形
PBOA 的面积是|k|（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是 ）．
2）由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QC⊥PA 的延长线于 C，则
有三角形 PQC 的面积为 2|k|．
3）直线 与双曲线 的关系：
当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于
原点成中心对称．
知识点四 用反比例函数解决实际问题
解题步骤：
1.根据题意找等量关系。
2.列出方程，并注明自变量的取值范围。
3.解方程
4.写方程
【考查题型】
2
考查题型一 反比例函数的定义
典例 1．（2019·宿迁市期中）下列函数：① ，② ，③ ，④ ，
y是x的反比例函数的个数有
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【提示】
根据反比例函数解析式的一般式 y＝ （k≠0），也可转化为 y=kx-1（k≠0）的形式可知．
【详解】
①和②是正比例函数；③是反比例函数；④是 y是x+1 的反比例函数，故此选项错误．
所以 y是x的反比例函数的个数有 1个．
故选：B．
【名师点拨】
考查了反比例函数的定义和方程式的变形，反比例函数解析式的一般形式 y＝ （k≠0），
也可转化为 y=kx-1（k≠0）的形式，特别注意不要忽略 k≠0 这个条件．
变式 1-1．（2019·长沙市期中）函数的图象 是双曲线，则 m的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【提示】
根据反比例函数的定义列出关于 m的不等式组，求出m的值即可．
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