第二十讲 商品利润最大问题（解析版） -2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第二十讲 商品利润最大问题
【学习目标】
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
【新课讲解】
知识点 1：利润问题中的数量关系
（1）销售额= 售价×销售量;
（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
知识点 2：如何定价利润最大
【问题】某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖
出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 18 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
1 每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 元，填空：
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300-10x ≥0，且 x ≥0,因此自
变量的取值范围是 0 ≤x ≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价 65 元时，最大利润是 6250 元.
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
1
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
【例题】某商店试销一种新商品，新商品的进价为 30 元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会
因售价的调整而不同.令每月销售量为 y 件，售价为 x 元/件，每月的总利润为 Q 元.
（1）当售价在 40～50 元时，每月销售量都为 60 件，则此时每月的总利润最多是多少元？
（2）当售价在 50～70 元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价 x 是多少元时，该
商店每月获利最大，最大利润是多少元？
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意得：当 40≤x≤50 时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
∵ y = 60 > 0，Q 随 x 的增大而增大
∴当 x 最大= 50 时，Q 最大= 1200
答：此时每月的总利润最多是 1200 元.
（2）解：当 50≤x≤70 时，
设 y 与 x 函数关系式为 y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
∴Q=(x－30)y
=(x－30)(－2x + 160)
=－2x2 + 220x－ 4800
2
=－2(x－55)2 +1250 (50≤x≤70)
∵a = －2＜0，图象开口向下，
∴当 x = 55 时，Q 最大= 1250
∴当售价在 50～70 元时，售价 x 是 55 元时，获利最大，最大利润是 1250 元.
商品利润最大问题过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
1．（12）某商品的进价为每件 40 元，在销售过程中发现，每周的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间
的关系可以近似看作一次函数 y＝kx+b，且当售价定为 50 元/件时，每周销售 30 件，当售价定为 70 元/件
时，每周销售 10 件．（1）求 k，b 的值；（2）求销售该商品每周的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间
的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【答案】见解析。
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由销售该商品每周的利润 w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解．
【解析】（1）由题意可得： ，
∴ ，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴当 x＝60 时，w 有最大值为 400 元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为 400 元．
2.(12 分)“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为 1000 元，试营业期间统计发现，影城每
天售出的电影票张数 y（张）与电影票售价 x（元/张）之间满足一次函数：y= 4x+220﹣（10≤x≤50，且 x是
整数），设影城每天的利润为 w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．
（1）试求 w与x之间的函数关系式；
（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）w= 4x﹣2+220x 1000﹣；（2）影城将电影票售价定为 27 或28 元/张时，每天获利最大，最大
3
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