第二十二讲二次函数单元总结与达标（原卷版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第二十二讲二次函数单元总结与达标

【知识梳理】

1.二次函数的概念

一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠0 的函数，叫做二次函数．

注意： (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是 2；(3)当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2是特殊的二次

函数．

2.二次函数的图象与性质

3.二次函数图像的平移

4.二次函数表达式的求法

（1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)

（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)

（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

5.二次函数与一元二次方程的关系

二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次

函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值,即一元二次方程 ax2

＋bx＋c=0 的根.

6.二次函数的应用

二次函数的应用包括以下两个方面

(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；

(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．

(3)一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变

量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．

【考点总结与例题讲析】

考点一：求抛物线的顶点、对称轴、最值

【例题 1】抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为________．

解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，得到：对称轴是直

线 x＝h，最值为 y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.

考点二：二次函数的图像与性质及函数值的大小比较

方法总结：

1.可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称轴是 y 轴；a、b 同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号⇔

对称轴在 y 轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.

2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图像上横坐标

x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐

标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.

【例题 2】二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图像如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且

x1<x2<1，则 y1与 y2的大小关系是(　　)

A. y1≤y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1>y2

考点三：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数 a，b，c 的关系

【例题 3】已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，下列结论：① abc＞0；② 2a－b＜0；③ 4a－2b

＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)

A．1　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4

考点四：二次函数表达式的确定

【例题 4】已知关于 x 的二次函数,当 x=－1 时,函数值为 10,当 x=1 时,函数值为 4,当 x=2 时,函数值为 7,求

这个二次函数的解析式.

考点五：二次函数与一元二次方程

【例题 5】若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为（　　）

A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7

C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=7

考点六：二次函数的应用

【例题 6】某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得

高于 45%，经试销发现，销售量 y(件)与销售单价 x(元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65 时，y＝55；x＝

75 时，y＝45.

(1)求一次函数的表达式；

(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可

获得最大利润，最大利润是多少元？

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