第二十二讲 二次函数单元总结与达标（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第二十二讲 二次函数单元总结与达标
【知识梳理】
1.二次函数的概念
一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a ≠0 的函数，叫做二次函数．
注意： (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是 2；(3)当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2是特殊的二次
函数．
2.二次函数的图象与性质
3.二次函数图像的平移
4.二次函数表达式的求法
（1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0)
（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
1
（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次
函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值,即一元二次方程 ax2
＋bx＋c=0 的根.
6.二次函数的应用
二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
(3)一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变
量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
【考点总结与例题讲析】
考点一： 求抛物线的顶点、对称轴、最值
【例题 1】抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为________．
解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，得到：对称轴是直
线 x＝h，最值为 y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
【答案】见解析。
【解析】方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
则顶点坐标为(1,2)．
考点二： 二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
2
方法总结：
1.可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称轴是 y 轴；a、b 同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号⇔
对称轴在 y 轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图像上横坐标
x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐
标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.
【例题 2】二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图像如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且
x1<x2<1，则 y1与 y2的大小关系是(　　)
A. y1≤y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1>y2
【答案】见解析。
【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大．
∵x1<x2<1，∴y1<y2 . 故选 B.
考点三： 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数 a，b，c 的关系
【例题 3】已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，下列结论：① abc＞0；② 2a－b＜0；③ 4a－2b
＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
【答案】见解析。
【解析】由图像开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图像与 y 轴交于正半轴可得 c
＞0，则 abc＞0，故①正确；
由对称轴 x>－1 可得 2a－b＜0，故②正确；
3
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