第二讲 解一元二次方程（直接开方法）（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第二讲 解一元二次方程（直接开方法）
【学习目标】
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用开平方法解形如 x2=p 或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
【知识回顾】
1.如果 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根
2.如果 x2=a(a ≥0),则 x=
3.如果 x2=64 ,则 x=±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.
【新课讲授】
知识点 1：直接开平方法定义.
1.方法讲解
我们已经讲了 x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得 x=±2 。
如果 x换元为 2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
回答是肯定的，把 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=±2
即2t+1=2 ，2t+1=-2
方程的两根为 t1= - ，t2=- -
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
2.总结：一般的，对于可化为方程
x
2 =
p
, 的解的情况
(1)当
p
>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
(2)当
p
=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1=x2=0.
(3)当
p
<0 时,因为任何实数
x
，都有
x
2≥0 ，所以方程无实数根.
3.例题解析
【例题 1】解方程：x2=4
【答案】x1=2, x2=-2.
【解析】根据平方根的意义，得 x=±2
所以 x1=2, x2=-2.
【例题 2】解方程：（x－1）2－4 = 0；
【答案】x1=3，x2=-1.
【解析】移项，得（x-1）2=4.
∵x-1 是 4 的平方根，
∴x-1=±2
即 x1=3，x2=-1.
【例题 3】解方程：x2+4x+4=1
1
【答案】x1=-1，x2=-3
【解析】很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3
4.应用拓展
【例题 4】某公司一月份营业额为 1万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平
均增长率是多少？
【答案】10%．
【解析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营
业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x．
那么 1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+ ）2=2.56，即（x+ ）2=2．56
x+ =±1.6，即 x+ =1.6，x+ =-1.6
方程的根为 x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10%．
5.归纳小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2=p（p≥0），那么 x=± 转化为应用直接开平方法解形如
（mx+n）2=p（p≥0），那么 mx+n=± ，达到降次转化之目的．
解一元二次方程（直接开方法）过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
一、单选题（每小题 5分，共 30 分）
1．一元二次方程(x+2000)2＝1的解为( )
A．﹣1999，﹣2001 B．﹣1999 C．﹣2001 D．﹣2000
【答案】A
【解析】（x+2000）2=1
x+2000=±1，
所以 x1=-2001，x2=-1999．
2．一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一
个一元一次方程是（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将 两边开平方，得
，
则则另一个一元一次方程是
。
3．若(m+n﹣1)(m+n+1)﹣4＝0，则 m+n 的值为(　　)
A．2 B．±2 C． D．±
【答案】D
【解析】(m+n)2﹣1﹣4＝0，
(m+n)2＝5，
∴m+n=± ．
4．若 a,b,c满足 则关于 x的方程 的解是( )
A．1，0 B．-1，0 C．1，-1 D．无实数根
【答案】C
【解析】由方程组得到 a+c=0, 即a=-c，b=0，再代入方程可求解.
因为 a+b+c=0——①；a-b+c=0——② 且 a≠0,
联立两式①+②得a+c=0, 即a=-c,b=0,
代入 ax²+bx+c=0
得：ax²-a=0
解得 x=1 或x=-1
5．方程 3 +9=0 的根为（ ）
A．3B．－3C．±3 D．无实数根
【答案】D
【解析】原方程可化为： ，
3
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