第八讲 平均变化率与一元二次方程（解析版） 2021年新九年级数学上册暑假精品课程（人教版）

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第八讲 平均变化率与一元二次方程
【学习目标】
1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.
2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.
【新课讲解】
知识点 1：平均变化率问题与一元二次方程的理论基础
1.增长率问题
a(1+x)2=b,其中 a 为增长前的量，x 为增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
2.降低率问题
a(1-x)2=b,其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
总结：有关增长率和降低率的有关数量关系
增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为 x,增长(或降低)前
的量是 a,增长(或降低)n 次后的量是 b,则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取
“－”).
知识点 2：平均变化率问题与一元二次方程的应用
【例题 1】某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万
元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
【答案】这个增长率为 50%.
【解析】设这个增长率为 x.根据题意，得
200+200(1+x) +200(1+x)2=950
整理方程，得 4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
答：这个增长率为 50%.
【例题 2】百佳超市将进货单价为 40 元的商品按 50 元出售时，能卖 500 个，已知该商品要涨价 1 元，其销
售量就要减少 10 个，为了赚 8000 元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
【答案】要想赚 8000 元，售价为 60 元或 80 元；若售价为 60 元，则进贷量应为 400；若售价为 80 元，则
进贷量应为 200 个.
【解析】设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)－40]元，因为每涨价 1 元，其销售会减少
10，则每个涨价 x 元，其销售量会减少 10x 个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数
=8000，则(500－10x)· [(50+x)－40]=8000.
1
解：设每个商品涨价 x 元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则
(500－10x)· [(50+x)－40]=8000，
整理得 x2－40x+300=0，
解得 x1=10，x2=30 都符合题意.
当 x=10 时,50+x =60，500－10 x=400；
当 x=30 时，50+x =80， 500－10 x=200.
答：要想赚 8000 元，售价为 60 元或 80 元；若售价为 60 元，则进贷量应为 400；若售价为 80 元，则进贷
量应为 200 个.
【例题 3】青山村种的水稻去年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求水稻每公顷产
量的年平均增长率.
【答案】水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.
【解析】设水稻每公顷产量的平均增长率为 x,
根据题意，得 7200（1+x)2=8712
系数化为 1 得，（1+x)2=1.21
直接开平方得，1+x=1.1, 1+x=-1.1
x1=0.1, x2=-1.1,
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10%.
平均变化率与一元二次方程过关检测
注意：满分 100 分，答题时间 60 分钟
一、选择题（每小题 5 分，共 40 分）
1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为
2
10m
提高到
2
12.1m ，
若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A．
9%
B．
10%
C．
11%
D．
12%
【答案】B.
【解析】设年增长率
x
，可列方程
 
2
10 1 12.1x 
，解得
1
0.1 10%x 
，
22.1x 
（不合题意，舍去），
2
所以年增长率 10%，故选 B.
2．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加． 2017 年至2019 年我国快递业务收入由 5000
亿元增加到 7500 亿元．设我国2017 年至2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，则可列方程为（
　）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
【答案】C.
【解析】根据题意可得等量关系：2017 年的快递业务量×（1+增长率）2＝2019 年的快递业务量，根据等
量关系列出方程即可．
设我国2017 年至2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，
由题意得：5000（1+x）2＝7500
3．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的 500 万元，连续两个月降至380 万元，设平均下降率
为 x，则可列方程（　　）
A．500（1﹣x）2＝380 B．500（1﹣x）＝380
C．500（1﹣2x）＝380 D．500（1+x）2＝380
【答案】A.
【解析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x 的一元二次方程，即可得出
结论．
依题意，得：500（1﹣x）2＝380．
4.某市一楼盘准备以每平方米8000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持
币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米7220 元的均价开
盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．4.875% B．5% C．5.4% D．10%
【答案】B.
【解析】设出平均每次下调的百分率为 x，利用预订每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝开
盘每平方米销售价格列方程解答即可．
设平均每次下调的百分率是 x，根据题意可得：
8000（1﹣x）2＝7220，
解得：x15%，x2（不合题意舍去）
3
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