第19讲 二次函数图像性质的应用 （解析版）

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第 19 讲 二次函数图像性质的应用
【学习目标】
二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面：
（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；
（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求
解等；
（3）二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状，
所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见；
（4）二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出
的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状，
则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题．
当然二次函数也会与其他的知识点相结合，例如二次函数与一次函数、二次函数与一元二次方程、二
次函数与不等式等的代数综合，以及二次函数与相似三角形、二次函数与圆、二次函数与动点等的几何综
合，这些内容我们会在秋季班的课程中深入地学习．
【基础知识】
一、二次函数与利润最大化
求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式
求解最大值．
这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意
自变量的取值范围．
二、二次函数与面积问题
求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相
关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．
而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出
现动点与面积相结合的类型，变化较多．
三、二次函数与拱桥问题
二次函数与拱桥问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用
二次函数的图像性质解答相关的问题．
【考点剖析】
考点一：二次函数与利润最大化
例1．某商品进价为 90 元/个，按 100 一个出售，能售出 500 个，如果这种商品每涨价 1元，其销
售量就减少 10 个，为了获得最大利润，单价应定为__________．
【难度】★★
【答案】120 元
【解析】可设商品价格在 100 元基础上涨 元，其总利润为 元，
总利润=单个利润×销量， ，
化为顶点式即为 ，可知 时有最大利润，此时商品单价
1
为 元．
【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值．
例2．某商店以 120 元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价 x（元）与产
品的日销售量 y（台）之间的关系如下表所示：
x130 150 165
y70 50 35
（1）若日销售量 y是销售价 x的一次函数，求这个一次函数；
（2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？
【难度】★★
【答案】（1） ；（2）1600 元
【解析】（1）依题意可设 ，
则有 ，解得 ，即这个一次函数解析式为 ；
（2）总利润=单个利润×销量，则其总利润为
，
可知 时商品有最大日销售利润 1600 元．
【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其最值．
例3．某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不
得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y = kx + b，且 x = 65 时，y =
55；x =75 时，y = 45．
（1）求一次函数 y = kx + b的表达式；
（2）若该商场获得利润为 W元，试写出利润 W与销售单价 x之间的关系式；销售单价定
为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x的范围．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2）单价 87 元时有最大利润 891 元；（3）
【解析】（1）依题意有 ，解得 ，即一次函数解析式为 ；
（2）销售利润=单个利润×销售量，由此可得
，化为顶点式， ，又商场最
大利润不得高于 45%，可知定价最高不 超过 元，即 取值范围是 ，函数开
口向下，在对称轴左侧 函数单调递增，可知定价 87 元时，商场有最大利润 元；
（3）令，解得 ， ，函数开口方向向下，结合 ，可知
利润不低于 500 的范围是 ．
2
【总结】根据题意列出相应的函数解析式，求最值时需要注意根据题目条件确定好相应自变量取值范围，
适当结合函数增减性进行解题．
例4．某商场将进价为 2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出 8台，为了配合国家“家电
下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就
能多售出 4台．
（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润 y元，请写出y与x之间的函
数关系式；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应
降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
【难度】★★
【答案】（1） ；（2）降价200 元；
（3）降价250 元时有最大利润 5000 元
【解析】（1）销售利润=单个利润×销售量，由此可得
；
（2）商场要盈利4800 元，则有 ，
解得 ， ，要使百姓得到实惠，则冰箱降价尽可能高，取 ，即 每台冰箱应降
价200 元；
（3）化为顶点式，即得 ，由此可知每台冰箱 降价150 元时 ，
商场有最高利润，最高利润为 5000 元．
【总结】根据题意列出相应的函数解析式，化为顶点式即可求其相应最值．
考点二：二次函数与面积问题
例1．在半径为4厘米的圆面上，从中挖去一个半径为x厘米的同心圆面，剩下一个圆环
的面积为 y平方厘米，则 y关于 x的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【难度】★
【答案】D
【解析】 ，由此即可计算得 ，故选 D．
【总结】考查圆环的面积计算，确定相关函数的求取．
例2．一长方体的长和宽相等，高比长多0.5 米，若长方体的长和宽用x（米）表示，则长方体的表
面积 S（平方米）关于 x的函数关系式为________________．
【难度】★
3
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