第18章 专题 构造中位线-人教版八年级下册数学专题练

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【例1】如图所示，在△ABC 中，M为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD⊥AD 于D，AB＝12，AC＝
18，求 MD 的长．
变式1如图所示，在△ABC 中，E为AB 的中点，CD 平分∠ACB，AD CD⊥于点 D,试说明：
（1）DE BC∥； （2）DE= （BC-AC）．
【例2】如图，已知 P、R分别是长方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点，E、F分别是 PA、PR 的中点，点 P在BC
上从 B向C移动，点 R不动，那么下列结论成立的是（ ）
　　　
　 　 A．线段 EF 的长逐渐增大 　 　 　　B．线段 EF 的长逐渐变小
　　 C．线段 EF 的长不变 　　　 　　　D．无法确定
变式2如图所示，四边形 ABCD 中，Q是CD 上的一定点，P是BC 上的一动点，E、F分别是 PA、PQ 两边的
中点；当点 P在BC 边上移动的过程中，线段 EF 的长度将( )．
A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定
【例3】已知：如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC=BD，E，F分别是四边形 ABCD 边
AD、BC 的中点，EF 分别交 AC，BD 于G，H，求证：∠OGH= OHG∠．
变式3如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，E、F是AD、BC 的中点，EF 分别交 AC、BD 于
M、N，且 OM=ON，求证：AC=BD．
变式4如图，任意四边形 ABCD 中，AB=CD，M、N分别为 BC、AD 的中点．说明∠1与∠2的大小关系．
变式5如图，点 D、E是Rt ABC△两直角边 AB、AC 上的一点，连接 BE，已知点 F、G、H分别是
DE、BE、BC 的中点．
（1）求∠FGH 度数；
（2）连 CD，取 CD 中点 M，连接 GM，若 BD=8，CE=6，求 GM 的长．
—答案与解析—
【例1】【答案】解：延长 BD 交AC 于点 N．
∵AD 为∠BAC 的角平分线，且 AD BN⊥，
2
∴∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝ ∠ADN＝90°，
又∵AD 为公共边，∴△ABD AND(ASA)≌△
∴AN＝AB＝12，BD＝DN．
∵AC＝18，∴NC＝AC－AN＝18－12＝6，
∵D、M分别为 BN、BC 的中点，
∴DM＝CN＝ ＝3．
变式1证明：延长 AD 交BC 于F．
（1）∵AD CD⊥，
ADC= FDC=90°∴∠ ∠ ．
CD∵平分∠ACB，
ACD= FCD∴∠ ∠ ．
在△ACD 与△FCD 中，∠ADC=∠FDC DC=DC ACD= FCD∠ ∠ ，
ACD FCD∴△ △≌．
AC=FC AD=DF∴．
又∵E为AB 的中点，
DE BF∴ ∥ ，
即DE BC∥．
（2）由（1）知 AC=FC，DE= BF，
DE=∴（BC-FC）=（BC-AC）．
【例2】【答案】C；
【解析】连AR，由 E、F分别为 PA，PR 的中点知 EF 为△PAR 的中位线, 则 ，而 AR 长不变，
故EF 大小不变.
变式2【答案】B；
【解析】解：连接 AQ．∵E、F分别是 PA、PQ 两边的中点，
∴EF 是△PAQ 的中位线，即 AQ＝2EF．
∵Q是CD 上的一定点，则 AQ 的长度保持不变，
∴线段 EF 的长度将保持不变．
【例3】解：取 DC 边的中点 M，连接 EM，FM，
M∵、F分别是 BC、CD 的中点，
MF BD∴ ∥ ，MF= BD，
同理：ME AC∥，ME= AC，
AC=BD∵，
ME=MF∴，
MEF= MFE∴∠ ∠ ，
MF BD∵ ∥ ，
MFE= OHG∴∠ ∠ ，
同理，∠MEF= OGH∠，
OGH= OHG∴∠ ∠ ．
变式3证明：取 AB 和CD 的中点分别为 G、H，连接 EG、GF、FH、EH，
则EH AC∥，EH= AC，HF BD∥，FH= BD，
3= 2∴∠ ∠ ，∠1= 4∠，
OM=ON∵，
1= 2∴∠ ∠ ，
4= 3= 1= 2∴∠ ∠ ∠ ∠ ，
3
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