第18讲 二次函数的解析式的确定（解析版）

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第 18 讲 二次函数的解析式的确定
【学习目标】
二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实
际运用中的必不可少的一环．本讲主要讲解利用二次函数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数
的平移和对称求解二次函数解析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方
法，从而快速准确的确定二次函数的解析式．
【基础知识】
一、一般式 （ ）
（1）任何二次函数都可以整理成一般式 （ ）的形式；
（2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式．
二、顶点式： （ ）
（1）任何二次函数经过配方都可以整理成 （ ）的形式，这叫做二次函数的顶点式，
而（ ，k）为抛物线的顶点坐标；
（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式；
（3）对于任意的二次函数 ，都可以配方为： 的形式．
三、交点式 （ ）
（1）交点式： （ ），其中 x1 ，x2为二次函数图像与 x轴的两个交点的横坐标；
（2）已知二次函数与 x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式；
（3）已知二次函数与 x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为 ；
（4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐
标，则可知二次函数的对称轴为 ；
（5）对于任意二次函数 ，当 时，即 ，根据一元二次方程的求根公式可
得： 、 ；
（6）对称式： （ ），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式
来求解二次函数的解析式．
四、二次函数 的平移
（1）将二次函数 左右平移：
1
向左平移 m个单位，函数解析式变为 ；
向右平移 m个单位，函数解析式变为 ．
（2）将二次函数 上下平移：
向上平移 n个单位，函数解析式变为 ；
向下平移 n个单位，函数解析式变为 ．
（3）通常，在平移前，将二次函数 化成 的形式，再根据平移的情况
写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式．
五、二次函数的轴对称
1、 关于 x轴对称：
关于 x轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 x轴对称后，得到的解析式是 ．
2、 关于 y轴对称：
关于 y轴对称后，得到的解析式是 ；
关于 y轴对称后，得到的解析式是
六、二次函数的中心对称
1、 关于原点对称：
关于原点对称后，得到的解析式是 ；
关于原点对称后，得到的解析式是 ．
2、 关于顶点对称：
关于顶点对称后，得到的解析式是 ；
关于 y轴对称后，得到的解析式是 ．
3、 关于点（p，q）对称：
关于点（p，q）对称后，得到的解析式是 ．
【考点剖析】
考点一：一般式 （ ）
2
例1．已知二次函数的图像经过点 A（ ， ）、B（0， ）和 C（1，1）．求这个二次函数的
解析式．
【难度】★
【答案】 ．
【解析】设二次函数为 ，把 A、B、C代入二次函数解析式，可得：
，解得 ． 所以这个二次函数的解析式： ．
【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．
例2．已知二次函数 图像经过点（0，3）、（3，0）、（ ， ）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数的最值．
【难度】★★
【答案】（1） ；（2）函数有最大值，最大值为 ．
【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（ ， ）代入二次函数解析式，可得：
，解得 ，所以这个二次函数的解析式： ；
（2） ，则当 时，函数有最大值，最大值为 ．
【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组．
例3．已知抛物线 经过点 A（2，3）、B（0，3）、C（4， ）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当 x为何值时， ？
【难度】★★
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）把 A（2，3）、B（0，3）、C（4， ）代入二次函数解析式，可得：
，解得 ．所以抛物线的解析式为： ；
方法二：也可以利用 AB 关于直线 对称，设二次函数解析式为 求解．
（2）利用图像性质可得，当抛物线与直线 交于点 ，故 时， ．
【总结】考查学生利用一般式求解二次函数解析式，解三元一次方程组以及根据图像求自变量范围．
3
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